Hyperebene,bestimmt durch Pkte < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kickerle |
Hallo zusammen,
wenn ich n Elemente(Vektoren) aus dem [mm]\mathbb R^n[/mm] habe, sagen wir [mm]x_1,\dots,x_n[/mm], warum definieren diese dann eine Hyperebene?
Eine Hyperebene ist per Def. ein n-1 dimensionaler Unterraum von [mm]R^n[/mm]. Für n=2,3 ist mir das anschaulich klar, wie kann ich es aber für beliebige n zeigen.?
Vielen Dank schon mal im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> wenn ich n Elemente(Vektoren) aus dem [mm]\mathbb R^n[/mm] habe,
> sagen wir [mm]x_1,\dots,x_n[/mm], warum definieren diese dann eine
> Hyperebene?
Ob sie das tun, hängt doch ganz davon ab, wie diese n Vektoren beschaffen sind. Das Erzeugnis kann alles vom Nullraum bis zum gesamten Raum sein.
Gruß aus HH-Hamburg
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:05 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kickerle |
Hi Dieter,
Danke für die Antwort.
Also, dass die Ebene durch die Punkte, den ganzen Raum ausfüllen kann, sprich n-dimensional ist, sehe ich nicht. Allerdings hast du Recht, dass ich die Voraussetzungen noch spezifizieren muss. Sagen wir der i-te Eintrag des Vektors [mm]x_i[/mm] ist Null, alle anderen Einträge sind von Null verschieden. Jeder Punkt liegt also auf genau einer Koordinatenachse.
Wohlgemerkt rede ich nicht vom Raum der von den [mm]x_i[/mm]aufgespannt wird. Wenn ich die [mm]x_i[/mm] vorgebe (als Punkte im [mm]R^n[/mm]) dann definieren diese einen n-1 dimensionalen Unterraum. Warum?
Wie gesagt, ist die Sache anschaulich klar, ich kann es aber noch nicht mathem. sauber formulieren.
Viele Grüße,
Thomas
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> Hi Dieter,
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> Danke für die Antwort.
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> Also, dass die Ebene durch die Punkte, den ganzen Raum
> ausfüllen kann, sprich n-dimensional ist, sehe ich nicht.
Eine Ebene im [mm]\IR^n[/mm] mit [mm]n\geq 3[/mm] kann nicht (aus Dimensionsgründen) den ganzen Raums ausfüllen. Meinst du hier wieder allgemein die Hyperebene?
> Allerdings hast du Recht, dass ich die Voraussetzungen noch
> spezifizieren muss. Sagen wir der i-te Eintrag des Vektors
> [mm]x_i[/mm] ist Null, alle anderen Einträge sind von Null
> verschieden. Jeder Punkt liegt also auf genau einer
> Koordinatenachse.
Also [mm]x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})\in \IR^n[/mm] mit [mm]x_{ij}=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } i=j, &\neq 0& \mbox{fuer } i\neq j \end{cases}[/mm]
Wo liegt der Punkt [mm](1,1,0)[/mm] im [mm]\IR^3[/mm] auf einer Koordinatenachse? Ich sehe das nicht so.
>
> Wohlgemerkt rede ich nicht vom Raum der von den
> [mm]x_i[/mm]aufgespannt wird.
Das wäre ja ein Untervektorraum.
> Wenn ich die [mm]x_i[/mm] vorgebe (als Punkte
> im [mm]R^n[/mm]) dann definieren diese einen n-1 dimensionalen
> Unterraum. Warum?
Mach doch mal ein konkretes Beispiel. Vielleicht der [mm] $\IR^3$. [/mm] Welche Punkte möchtest du dir vorgeben?
Einzelne Punkte spannen keinen Untervektorraum auf! Da u.a. eine Eigenschaft des Untervektorraumes ist, dass er den Nullvektor enthält.
> Wie gesagt, ist die Sache anschaulich klar, ich kann es
> aber noch nicht mathem. sauber formulieren.
>
> Viele Grüße,
> Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kickerle |
Das ist natürlich richtig. Sorry für die Unschärfen bei den Voraussetzungen, aber ich habe hier gerade keine fertig formulierte Aufgabe vor mir.
Ok, versuchen wir es an einem Bsp. Betrachten wir die drei Vektoren [mm]x_1=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}[/mm],[mm]x_2=\begin{pmatrix}1\\0\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}[/mm],[mm]x_3=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}[/mm] im [mm]\mathbb R^3[/mm]. Dann liegt [mm]x_1[/mm] in der yz-Ebene,[mm]x_2[/mm]in der xz-Ebene und [mm]x_3[/mm] in der xy-Ebene. Wie gelingt es mir nun mit Hilfe dieser drei Punkte, die Hyperebene zu beschreiben, die durch diese drei Punkte gegeben ist. Damit meine ich die Hyperebene die alle diese drei Punkte enthält.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 20.10.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Das ist natürlich richtig. Sorry für die Unschärfen bei
> den Voraussetzungen, aber ich habe hier gerade keine fertig
> formulierte Aufgabe vor mir.
>
> Ok, versuchen wir es an einem Bsp. Betrachten wir die drei
> Vektoren
> [mm]x_1=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}[/mm],[mm]x_2=\begin{pmatrix}1\\0\\ \sqrt{2}\end{pmatrix}[/mm],[mm]x_3=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}[/mm]
> im [mm]\mathbb R^3[/mm]. Dann liegt [mm]x_1[/mm] in der yz-Ebene,[mm]x_2[/mm]in der
> xz-Ebene und [mm]x_3[/mm] in der xy-Ebene. Wie gelingt es mir nun
> mit Hilfe dieser drei Punkte, die Hyperebene zu
> beschreiben, die durch diese drei Punkte gegeben ist. Damit
> meine ich die Hyperebene die alle diese drei Punkte
> enthält.
Das ist in dem Falle Schulmathematik, du suchst die Parameter-Darstellung einer Ebene, also nimmst du einen der 3 Vektoren als Stützvektor und die beiden Verbindundungsvektoren von dessen Endpunkt zu den beiden übrigen Punkten als Spannvektoren.
Eine Hyperebene ist i. a. kein VR, sondern ein affiner Raum.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kickerle |
Ok, dass wäre dann in diesem Fall z.B
[mm]\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\ \sqrt{2}-1\end{pmatrix}+\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\ \sqrt{2}-1\\-1\end{pmatrix}[/mm]
Wenn ich nun meine Ausgangsfrage auf dieses Bsp reduziere, lautet die Frage warum ich aus meinen drei gegebenen Punkten eine Hyperebene (2-dim) erhalte. Es könnte ja auch sein, dass alle drei Punkte auf eine Geraden liegen. (Natürlich würden sie auch dann in einer Hyperebene liegen, nämlich in unendlich vielen, ich möchte aber wissen wann sie in genau einer Hyperebene liegen).
In diesem Bsp. waren die [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] lin. unabhängig. Da ich aber auch dann eine Hyperebene erhalte wenn ich zB [mm]x_1=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] setze, reicht es aus zu fordern, dass 2 der Vektoren lin.unabhängig sind.
Wenn ich also im [mm]R^n[/mm] n Punkte habe, und n-1 davon sind lin. unabhängig, liegen die Punkte dann in genau einer Hyperebene (sprich in genau einem n-1 dim affinen Unterraum)?
IN diesem Fall würde die Voraussetzung, dass die i-te Komponente der [mm]x_i[/mm] gleich null ist wohl ausreichen um zu wissen, dass die Pkte immer im einer Hyperebene liegen, da diese Pkte/Vektoren immer lin. unabhängig sind. Da muss ich aber erst nochmal kurz nachdenken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kickerle |
Joa, also zumindest ist es mir bisher nicht gelungen ein Gegenbeispiel dafür zu konstruieren,könnte also hinhauen. Allerdings ist es nicht so einfach die lin. Unabh. der Vektoren im Allgemeinen zu beweisen.
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> Ok, dass wäre dann in diesem Fall z.B
>
> [mm]\begin{pmatrix}0\\
1\\
1\end{pmatrix}+\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\
-1\\
\sqrt{2}-1\end{pmatrix}+\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\
\sqrt{2}-1\\
-1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn ich nun meine Ausgangsfrage auf dieses Bsp reduziere,
> lautet die Frage warum ich aus meinen drei gegebenen
> Punkten eine Hyperebene (2-dim) erhalte.
Drei unterschiedliche Punkte spannen im [mm]\IR^3[/mm] immer eine Ebene auf. Ob das Ding nun Ebene oder Hyperebene genannt wird ist ja egal.
> Es könnte ja auch
> sein, dass alle drei Punkte auf eine Geraden liegen.
> (Natürlich würden sie auch dann in einer Hyperebene
> liegen, nämlich in unendlich vielen, ich möchte aber
> wissen wann sie in genau einer Hyperebene liegen).
Damit wäre die Hyperebene eine Gerade. Es sich um einen eindimensionalen (affinen) Untervektorraum vom [mm]\IR^3[/mm], sogar um einen eindimensionalen (affinen) Untervektorraum von beliebigen Ebenen der Form
[mm]\vektor{x_1 \\
x_2\\
x_3}+\IR*\vektor{y_1 \\
y_2\\
y_3}+\IR*\vektor{z_1 \\
z_2\\
z_3}[/mm] mit [mm] $x\neq [/mm] z [mm] \neq [/mm] y$
Eine Gerade wird immer im [mm]\IR^3[/mm] in mehreren Ebenen liegen. Die Ebenen haben wieder echte Untervektorräume = Geraden.
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> In diesem Bsp. waren die [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] lin. unabhängig. Da
> ich aber auch dann eine Hyperebene erhalte wenn ich zB
> [mm]x_1=\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\end{pmatrix}[/mm] setze, reicht es
> aus zu fordern, dass 2 der Vektoren lin.unabhängig sind.
Ja klar. Der Stützvektor verschiebt ja "nur" die Ebene.
>
> Wenn ich also im [mm]R^n[/mm] n Punkte habe, und n-1 davon sind lin.
> unabhängig, liegen die Punkte dann in genau einer
> Hyperebene (sprich in genau einem n-1 dim affinen
> Unterraum)?
Nein. Wenn es sich um einen affinen UVR handelt ist dieser nur n-2 dimensional. Der eine Vektor geht als Stützvektor "drauf". Handelt es sich um einen normalen UVR, dann hat dieser die Dimension n-1.
>
> IN diesem Fall würde die Voraussetzung, dass die i-te
> Komponente der [mm]x_i[/mm] gleich null ist wohl ausreichen um zu
> wissen, dass die Pkte immer im einer Hyperebene liegen, da
> diese Pkte/Vektoren immer lin. unabhängig sind. Da muss
> ich aber erst nochmal kurz nachdenken.
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