Hyperebene < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V sei endlich-dim. K-Vektorraum und [mm] X\sub\V [/mm] ein affiner Unterraum.
Beweisen Sie:
X ist eine Hyperebene genau dann, wenn es ein p [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus\ [/mm] X gibt derart, dass [mm] V=\{p\}\vee [/mm] X. |
Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
Das weiß ich:
Eine affine Hyperebene hat dim X=V-1 (V ist hier dim des K-VR).
Meine Frage:
Was versteht man unter [mm] V=\{p\}\vee [/mm] X.</
Ist p ein Punkt? Dann könnte ich daraus folgern, dass dim von p gleich 0 ist...
Und p wäre demnach nicht in X, d. h. leere Menge!
Wer kann mir weiterhelfen? Wie gehe ich an die Aufgabe ran?
Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Di 09.06.2009 | | Autor: | koepper |
> V sei endlich-dim. K-Vektorraum und [mm]X\sub\V[/mm] ein affiner
> Unterraum.
> Beweisen Sie:
> X ist eine Hyperebene genau dann, wenn es ein p [mm]\in[/mm] V
> [mm]\setminus\[/mm] X gibt derart, dass [mm]V=\{p\}\vee[/mm] X.
>
> Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Das weiß ich:
> Eine affine Hyperebene hat dim X=V-1 (V ist hier dim des
> K-VR).
>
> Meine Frage:
> Was versteht man unter [mm]V=\{p\}\vee[/mm] X.</
Die Schreibweise ist mir auch neu. Aber der Satz wird richtig, wenn gemeint ist:
V ist die lineare Hülle der Vereinigung von X und p.
> Ist p ein Punkt?
Nach Aufgabenstellung ist $p [mm] \in [/mm] V$, also ist p ein Vektor.
Hinweis zum Beweis (Teil -->):
Betrachte eine Basis des Unterraums, der zur Hyperebene gehört (welche Mächtigkeit hat die?).
Dann ist die Vereinigung dieser Basis mit p eine Basis von V (warum?, ausführlich begründen, 2 Argumente!)
Für die andere Beweisrichtung:
Falls X=V, dann gäbe es kein $p [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus [/mm] X$. Also ist dim(X)<dim(V).
Was wäre nun, wenn dim(X)<dim(V)-1? .. zum Widerspruch führen...Argumentation wieder über die Basis.
Folglich ist dim(X)=dim(V)-1.
LG
Will
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Nach Aufgabenstellung ist , also ist p ein Vektor.
Hinweis zum Beweis (Teil -->):
Betrachte eine Basis des Unterraums, der zur Hyperebene gehört (welche Mächtigkeit hat die?).
Was meinst du mit Mächtigkeit? Ist das die Dim.?
Ist dann meine Basis X?
Dann ist die Vereinigung dieser Basis mit p eine Basis von V (warum?, ausführlich begründen, 2 Argumente!)
p hat meiner Meinung nach dim 0 und p hat mit X keinen gemeinsamen Punkt. Wenn ich diese beide vereinige habe sie die dim X, oder?
Für die andere Beweisrichtung:
Falls X=V, dann gäbe es kein . Also ist dim(X)<dim(V).
Was wäre nun, wenn dim(X)<dim(V)-1? .. zum Widerspruch führen..
Leider kann ich hier nicht mehr folgen.... SORRY!
.Argumentation wieder über die Basis.
Folglich ist dim(X)=dim(V)-1.
Dankeschön vorab.
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>> Hinweis zum Beweis (Teil -->):
>> Betrachte eine Basis des Unterraums, der zur Hyperebene
>> gehört (welche Mächtigkeit hat die?).
> Was meinst du mit Mächtigkeit? Ist das die Dim.?
Hallo,
weißt Du denn überhaupt, was ein affiner Unterraum ist?
Von welcher "Bauart" ist X?
Weißt Du, was eine Hyperebene ist?
Ist Dir klar, was koepper mit "Unterraum, der zur Hyperebene gehört", meint.
Mit Mächtigkeit der Basis ist die Anzahl der Basiselemente gemeint, und die hat natürlich etwas mit der Dimension des Unterraumes zu tun, über welchen gerade gesprochen wird.
> Ist dann meine Basis X?
??? Wieso denn "Basis X"? X ist ein affiner Unterraum von V lt. Aufgabenstellung.
>> Dann ist die Vereinigung dieser Basis mit p eine Basis von
>> V (warum?, ausführlich begründen, 2 Argumente!)
>
> p hat meiner Meinung nach
Von welchem p redest Du? Von irgendeinem?
Du mußt ja für "-->" erstmal zeigen, daß es überhaupt so ein p gibt, welches nicht in X liegt.
Warum ist das so?
> p hat meiner Meinung nach dim 0
Oh weh. Ein einzelner Vektor hat doch keine Dimension. Eine Dimension haben Vektorräume und mit der entsprechenden Def. auch affine Räume.
(Ich verstehe schon in etwa, was Du sagen willst.)
> und p hat mit X keinen
> gemeinsamen Punkt.
S.o. Warum gibt es solch ein p?
> Wenn ich diese beide vereinige habe sie
> die dim X, oder?
Welche beiden?
Du betrachtest jetzt die lineare?/affine? Hülle von p und X, also [mm] [\{p\}\cup [/mm] X]?
Nein, die hat nicht die Dimension von X.
Das würde ja auch die zu beweisende Aussage widerlegen.
Zu zeigen ist, daß die Dimension von [mm] <\{p}\cup [/mm] X> = dim V ist.
>
>> Für die andere Beweisrichtung:
>> Falls X=V, dann gäbe es kein . Also ist dim(X)<dim(V).
>> Was wäre nun, wenn dim(X)<dim(V)-1? .. zum Widerspruch
>> führen..
> Leider kann ich hier nicht mehr folgen.... SORRY!
Das wird sich nicht ändern, solange Du Dich mit den Begriffen (s.o.) nicht vertraut machst.
Das scheint mir noch eine Baustelle zu sein. Beim Lernen der def. kannman Dir aber schlecht helfen.
Beim Anwenden dann ja.
Hast Du verstanden, warum es im Falle von V=X nicht solch ein p wie vorausgesetzt gibt?
Verstehst Du, warum deswegen die Dimension v. X kleiner als die von V ist?
Dann ist die Dimension von X höchstens n-1.
Nun nimm an, die Dimension von X ist kleiner als n-1, also [mm] \le [/mm] n-2.
Wie ist dann X aufgebaut? Welche Dim hat der zu X gehörende Unterraum. Durch wieviel Elemente kann man seine Basis zu einer Basis von V ergänzen.
Kann nun die Hülle v. p und X gleich V sein?
Gruß v. Angela
>> .Argumentation wieder über die Basis.
>> Folglich ist dim(X)=dim(V)-1.
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Hallo!
Habe mich jetzt nochmals mit den Definitionen vertraut gemacht...
Ein affiner Unterraum X' in einem Vektorraum V ist ein verschobener Untervektorraum X, also X' = v + X. z.B. die x-y-Ebene im IR³. Diese ist ein 2-dimensionaler Untervektorraum (X). Verschiebung z.B. um eins nach oben (also in z-Richtung) => Affiner UR X': X´ = (0,0,1) + X.
Eine Hyperebene ist ein Unterraum der dim n-1.
Ich denke, soweit habe ich für´s Erste die Basics verstanden.
Nun konkret wieder zur Aufgabe:
V sei endlich dim. K-VR => V hat die dim n
X ist eine Hyperebene (Unterraum) mit der dim n-1.
V ist ein VR und [mm] X\subset [/mm] V (affiner UR), dann ist X von der Gestalt:
a + X := {a + x | x Î X} (Aufpunkt und X zugrundeliegender Raum von a+X).
Liege ich soweit richtig?
X, X´, X´´ seien AUR von V, dann habe diese immer die selbe Dimension (laut Vorl.).
Weiter gilt: dim [mm] (\{p\}\vee [/mm] X) = dimX+1 (in diesem Fall: n-1+1= n und das entspricht wiederrum dimV) => [mm] (\{p\}\vee [/mm] X) = V.
Zum Beweis:
X Hyperebene [mm] \gdw \exists p\inV\setminusX, [/mm] dass [mm] (\{p\}\vee [/mm] X) = V.
Hinrichtung:
X Hyperebene [mm] \Rightarrow \exists p\inV\setminusX, [/mm] dass [mm] (\{p\}\vee [/mm] X) = V
Jetzt würde ich gerne zeigen, dass dim X = dim [mm] (\{p\}\vee [/mm] X) = V ist, und das eben nur der Fall ist, wenn es ein p gibt (dim [mm] \{p\} [/mm] = 0 und [mm] \{p\}\cap [/mm] X [mm] =\emptyset.
[/mm]
Ich bin um jede Anregung dankbar.
Danke schon mal vorab.
Gruß PIPPI
PS: Kann die Aussage: [mm] (\{p\}\vee [/mm] X) leider nicht korrekt eingeben.
Vielleicht kann mir auch hier jemand den Fehler sagen... SORRY:-(
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> Hallo!
>
> Habe mich jetzt nochmals mit den Definitionen vertraut
> gemacht...
>
> Ein affiner Unterraum X' in einem Vektorraum V ist ein
> verschobener Untervektorraum X, also X' = v + X. z.B. die
> x-y-Ebene im IR³. Diese ist ein 2-dimensionaler
> Untervektorraum (X). Verschiebung z.B. um eins nach oben
> (also in z-Richtung) => Affiner UR X': X´ = (0,0,1) + X.
Hallo,
ja, so ist das.
> Eine Hyperebene ist ein Unterraum der dim n-1.
Genau. Und das ist für diese Aufgabe wichtig.
> Nun konkret wieder zur Aufgabe:
> V sei endlich dim. K-VR => V hat die dim n
> X ist eine Hyperebene (Unterraum) mit der dim n-1.
X soll hier ja ein affiner Unterraum von V sein, also X= a+ U für ein a [mm] \in [/mm] V und einen UVR U von V.
Daß X die Dimension n-1 hat, bedeutet, daß der zugrundeliegende Untervektorraum U die Dimension n-1 hat.
> V ist ein VR und [mm]X\subset[/mm] V (affiner UR), dann ist X von
> der Gestalt:
> a + X := {a + x | x Î X} (Aufpunkt und X zugrundeliegender
> Raum von a+X).
Ein bißchen Gewurschtel gibt's mit den X.
Es ist X=a+U, s. o.
also [mm] X=\{a+u|u\in U\}
[/mm]
> X, X´, X´´ seien AUR von V, dann habe diese immer die selbe
> Dimension (laut Vorl.).
???.
Das kapiere ich jetzt nicht.
Es haben doch nicht alle affinen Unterräume von V dieselbe Dimension. Was genau stand da?
> Weiter gilt: dim [mm](\{p\}\vee[/mm] X) = dimX+1 (in diesem Fall:
> n-1+1= n und das entspricht wiederrum dimV) => [mm](\{p\}\vee[/mm]
> X) = V.
Auch heir scheinen mir Voraussetzungen zu fehlen.
>
> Zum Beweis:
> X Hyperebene [mm]\gdw \exists p\inV\setminusX,[/mm] dass [mm](\{p\}\vee[/mm]
> X) = V.
>
> Hinrichtung:
> X Hyperebene [mm]\Rightarrow \exists p\inV\setminusX,[/mm] dass
> [mm](\{p\}\vee[/mm] X) = V
>
> Jetzt würde ich gerne zeigen, dass dim X = dim [mm](\{p\}\vee[/mm]
> X) = V ist, und das eben nur der Fall ist, wenn es ein p
> gibt (dim [mm]\{p\}[/mm] = 0 und [mm]\{p\}\cap[/mm] X [mm]=\emptyset.[/mm]
Gut.
Du hast also einen AU von V, nämlich X, welcher eine Hyperebene ist.
Also gibt es ein [mm] a\in [/mm] V und einen ???-dimensionalen UVR U von V so, daß X=a+U.
Die Basis von U enthält ??? Elemente. Gibt es ein Element von V, welches nicht in U ist? Welches und warum?
Gibt es ein Element aus V, welches Du nicht als a+u mit [mm] u\in [/mm] U schreiben kannst, welches also nicht in X liegt?
Welches?
Als nächstes wäre es nun ganz gut, wenn Du zunächst mal aufschreiben würdest, wie Ihr dieses ominöse $ [mm] (\{p\}\vee [/mm] $ X) in der Vorlesung definiert habt.
Es muß ja alles ein bißchen zusammenpassen.
(Wie soll dieses "$ [mm] (\{p\}\vee [/mm] $ X)" denn in echt aussehen?)
Überlege Dir, warum das gefundene p zusammen mit den Basiselementen von U eine Basis von V ist. Das brauchen wir auf jeden Fall.
Gruß v. Angela
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Hallo!
X soll hier ja ein affiner UR von V sein => X= a+U und U hat dim n-1.
Da habe ich mich mit den Buchstaben vertan. Sorry! Aber das habe ich soweit verstanden.
Wir haben eine Bemerkung notiert: "X,Y AuRe von V, [mm] \emptyset \not= [/mm] X [mm] \subset [/mm] Y, dim X=dim Y => X=Y. Da habe ich wohl mit der Dimension von Unterräumen etwas falsch verstanden. Jetzt kapiere ich die Bemerkung, dass es nicht allgemein gilt. DANKE!
Ich kann nicht sagen, wie wir dieses [mm] \{p\} \vee [/mm] X definiert haben, weil keine Definition statt fand.
Wir haben nur notiert (ich zitiere): "X [mm] \subset [/mm] V endlich dim AUR, p [mm] \in [/mm] V [mm] \backslasch [/mm] X, dann gilt: dim [mm] \{p\} \vee [/mm] X = dim X+1". Diese Aussage haben wir in einem Beispiel (Anwendung der Dimensionsformel) vermerkt. Vorher haben wir nichts darüber aufgeschrieben.
Zu deinen Fragen:
Die Basis von U hat dieselbe dim wie die Basis von X => dim U = n-1 => U enthält n-1 Basiselemente. Passt das so?
Es gibt ein Element, welches in V liegt, aber nicht in U: das ist p (Stützvektor), weil es sonst keine Basis bilden würde.
Folglich ist p auch nicht in X (X=a+U).
Habe ich richtig verstanden?
Wenn ich mich dann auf die Dim-Formeln berufe, kann ich sehen, dass eben p nicht in X bzw. U sein kann....
Jetzt habe ich mal so alles vermerkt, was ich dazu schreiben kann.
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> Ich kann nicht sagen, wie wir dieses [mm]\{p\} \vee[/mm] X definiert
> haben, weil keine Definition statt fand.
> Wir haben nur notiert (ich zitiere): "X [mm]\subset[/mm] V endlich
> dim AUR, p [mm]\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] X, dann gilt: dim [mm]\{p\} \vee[/mm] X
> = dim X+1". Diese Aussage haben wir in einem Beispiel
> (Anwendung der Dimensionsformel) vermerkt. Vorher haben wir
> nichts darüber aufgeschrieben.
Hallo,
na, dann gehen wir mal davon aus, daß damit die affine Hülle von X und [mm] \{p\} [/mm] gemeint ist, der kleinste affine Raum, der X und [mm] \{p\} [/mm] enthält.
Das kommt mir passend vor.
> Zu deinen Fragen:
> Die Basis von U hat dieselbe dim wie die Basis von X =>
> dim U = n-1 => U enthält n-1 Basiselemente. Passt das so?
Die Basis von U enthält n-1 Elemente, sagen wir [mm] b_1,...,b_{n_1}.
[/mm]
Nach dem Basisergänzungssatz gibt es einen Vektor [mm] b_n, [/mm] mit welchem man sie zu einer Basis von V ergänzen kann.
> Es gibt ein Element, welches in V liegt, aber nicht in U:
> das ist p (Stützvektor), weil es sonst keine Basis bilden
> würde.
Mir ist nicht ganz klar, was Du hier mit p meinst.
(Ich bin gedanklich übrigens gerade bei der Richtung: Hyperebene ==> es gibt ein p $ [mm] \in [/mm] $ V $ [mm] \setminus\ [/mm] $ X mit $ [mm] V=\{p\}\vee [/mm] $ X)
Wenn du aber meinst, daß für X=a+U stets das a nicht in U liegt, dann täuschst Du Dich:
Die Ebene E: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+\lambda{1\\2\\3}+\mu\{1\\0\\0} [/mm] ist durchaus ein affiner Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] und der Stüzvektor liegt in der Ebene [mm] $\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+\lambda\vektor{1\\2\\3}+\mu\vektor{1\\0\\0} [/mm] $.
Das Geheimnis dieses affinen Unterraums: es handelt sich um einen Unterraum von U, es ist also [mm] 0\in [/mm] E.
> Folglich ist p auch nicht in X (X=a+U).
> Habe ich richtig verstanden?
Es geht doch darum, daß man erstmal einen Vektor p findet, der nicht in X liegt.
Überleg' Dir mal, warum der Vektor [mm] p:=a+b_n [/mm] nicht in X ist.
Und wenn Du das hast, gilt es einen Grund zu finden daür, daß die affine Hülle V ist.
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Die Rückrichtung wird dann gesondert untersucht.
Hier wird davon ausgegangen, daß es solch ein p gibt, und Du kannst mit dem ganz oben von Dir zitierten Satz anrücken.
Gruß v. Angela
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Jetzt fällt mir dazu noch etwas ein:
dim V=n => dim X=n-1 (weil X Hyperebene ist)
dim V= dim [mm] \{p\} \vee [/mm] X =
= dim [mm] \{p\} [/mm] + dim V+1 (Dimensionsformel)
= 0+n-1+1=n
Habe ich Recht damit?
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> Jetzt fällt mir dazu noch etwas ein:
> dim V=n => dim X=n-1 (weil X Hyperebene ist)
> dim V= dim [mm]\{p\} \vee[/mm] X =
> = dim [mm]\{p\}[/mm] + dim V+1 (Dimensionsformel)
> = 0+n-1+1=n
>
> Habe ich Recht damit?
Hallo,
ja, da ist vieles drin, was Du gebrauchen kannst, ich habe in meiner anderen Antwort einmal ausgesprochen und einmal unausgesprochen auf den von Dir zitierten Satz hingewiesen, und damit meinte ich sowas in der Art.
Paß mit den beiden Beweisrichtungen auf und trenne sie ganz deutlich.
Man verstrickt sich sonst zu leicht in seinen eigenen Gedanken.
Für die Rückrichtung:
dimV=n, es gibt einen Punkt p, der nicht in X (dim X bislang unbekannt) liegt, und man weiß, daß [mm] \{p\}v [/mm] X=V ist. Das mußt Du jetzt ausreizen, so daß Du am Ende dastehen hast dimX= n-1. Denn wenn Du das hast, weißt Du, daß X eine Hyperebene ist.
Für die Hin-Richtung:
Du hast dimX=n-1. Wenn Du glaubhaft machen konntest, daß es einen Punkt p gibt, der nicht in X ist, dann kannst Du wieder die Dimensionssachen ausspielen. Ziel: [mm] dim\{p\}v [/mm] X =n.
Wenn Du das hast, dann muß [mm] \{p\}v [/mm] X=V sein.
Gruß v. Angela
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Es geht doch darum, daß man erstmal einen Vektor p findet, der nicht in X liegt.
Überleg' Dir mal, warum der Vektor nicht in X ist.
--> Begründung dafür, dass p existiert:
Würde p nicht existieren, dann wäre X=V.
Ist das so in Ordnung?
Mehr fällt mir leider nicht zur Existenz ein.
DANKE.
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> --> Begründung dafür, dass p existiert:
> Würde p nicht existieren, dann wäre X=V.
Hallo,
und wenn ich ungläubig bin und sage, daß ja vielleicht möglicherweise irgendwie X doch =V ist?
(Und Deine Chefs werden so ungläubig sein...)
Wie überzeugst Du mich?
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> und wenn ich ungläubig bin und sage, daß ja vielleicht
> möglicherweise irgendwie X doch =V ist?
> (Und Deine Chefs werden so ungläubig sein...)
>
> Wie überzeugst Du mich?
>
> Gruß v. Angela
Dann sage ich dir bzw. meinem "Big Boss", dass es X nicht gleich V sein kann, weil......???? 
Tja, weil es sonst mit meiner Dim-Formel nicht ausgeht bzw. wenn X=V ist, dann ist dim X=dim V = n und dann habe ich ein Problem, weil mein X dann keine Hyperebene mehr sein kann (diese hat ja dim n-1).
Mehr kann ich leider nicht dazu sagen:-(
>
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> Tja, weil es sonst mit meiner Dim-Formel nicht ausgeht bzw.
> wenn X=V ist, dann ist dim X=dim V = n und dann habe ich
> ein Problem, weil mein X dann keine Hyperebene mehr sein
> kann (diese hat ja dim n-1).
>
> Mehr kann ich leider nicht dazu sagen:-(
Hallo,
das reicht jetzt auch!
X ist nach Voraussetzung eine Hyperebene, hat also die Dimension n-1.
Du kannst auch gleich einen Vektor p mitteilen, welcher in X=a+U nicht enthalten ist, nämlich [mm] a+b_n, [/mm] wobei [mm] b_n [/mm] der Vektor ist, der die Basis von U zu einer von V ergänzt.
Gruß v. Angela (unbedingt auch an den Kleinen Onkel)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:40 Fr 12.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> > V sei endlich-dim. K-Vektorraum und [mm]X\sub\V[/mm] ein affiner
> > Unterraum.
> > Beweisen Sie:
> > X ist eine Hyperebene genau dann, wenn es ein p [mm]\in[/mm] V
> > [mm]\setminus\[/mm] X gibt derart, dass [mm]V=\{p\}\vee[/mm] X.
> >
> > Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Das weiß ich:
> > Eine affine Hyperebene hat dim X=V-1 (V ist hier dim
> des
> > K-VR).
> >
> > Meine Frage:
> > Was versteht man unter [mm]V=\{p\}\vee[/mm] X.</
>
> Die Schreibweise ist mir auch neu. Aber der Satz wird
> richtig, wenn gemeint ist:
>
> V ist die lineare Hülle der Vereinigung von X und p.
Ich wuerde auch vermuten, dass das gemeint ist.
Damit stimmt die Aussage allerdings nicht:
Betrachte in $V = [mm] \IR^2$ [/mm] den affinen Unterraum $X = [mm] \{ (1, 0) \}$ [/mm] und $p = (0, 1)$. Dann gilt $V = X [mm] \vee \{ p \}$, [/mm] jedoch ist $X$ keine Hyperebene.
Also entweder ist das [mm] $\vee$ [/mm] falsch interpretiert, oder die Aufgabenstellung ist falsch. (Oder hab ich was uebersehen?)
LG Felix
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> > > Meine Frage:
> > > Was versteht man unter [mm]V=\{p\}\vee[/mm] X.</
> >
> > Die Schreibweise ist mir auch neu. Aber der Satz wird
> > richtig, wenn gemeint ist:
> >
> > V ist die lineare Hülle der Vereinigung von X und p.
>
> Ich wuerde auch vermuten, dass das gemeint ist.
>
> Damit stimmt die Aussage allerdings nicht:
>
> Betrachte in [mm]V = \IR^2[/mm] den affinen Unterraum [mm]X = \{ (1, 0) \}[/mm]
> und [mm]p = (0, 1)[/mm]. Dann gilt [mm]V = X \vee \{ p \}[/mm], jedoch ist [mm]X[/mm]
> keine Hyperebene.
>
> Also entweder ist das [mm]\vee[/mm] falsch interpretiert, oder die
> Aufgabenstellung ist falsch. (Oder hab ich was
> uebersehen?)
Hallo,
es ist nicht die lineare Hülle gemeint, sondern die affine Hülle, und die wäre in Deinem Beispiel nicht [mm] der\IR^2, [/mm] sondern die Gerade durch (1, 0) und (0,1).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Fr 12.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela!
> es ist nicht die lineare Hülle gemeint, sondern die affine
> Hülle, und die wäre in Deinem Beispiel nicht [mm]der\IR^2,[/mm]
> sondern die Gerade durch (1, 0) und (0,1).
Ok, dann macht das ganze auch mehr Sinn :)
Ich haette den Thread wohl doch bis zum Ende lesen sollen...
LG Felix
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