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| Aufgabe | Statt Aufgabenstellung eine Frage:
Ist eine Hyperebene ein Vektorraum? |
Ist eine Hyperebene ein Vektorraum?
https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/hyperebenen/
Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer um 1 kleineren Dimension”.
https://de.wikiversity.org/wiki/Endlichdimensionaler_Vektorraum/Hyperebene/Definition
Es sei K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum der Dimension n. Dann nennt man jeden (n-1)- dimensionalen Untervektorraum von V eine Hyperebene in V.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperebene
Jede Hyperebene entsteht durch Verschiebung eines Untervektorraums um einen festen Vektor. Kann dabei der Nullvektor gewählt werden, spricht man auch von einer linearen Hyperebene, da dann die Hyperebene selbst einen Vektorraum darstellt.
Ich halte die dritte Aussage für richtig, weil ein Vektorraum den Nullvektor enthalten muss.
Die Hyperebene ist ja dann ein Unterraum von V und muss ihre Nullstelle an der gleichen Stelle haben wie V. Ihre Dimension ist stets um 1 geringer als die von V: ist das richtig so?
Aber ist dann die im ersten Link gemachte Aussage falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 So 29.09.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
Was da richtig oder falsch ist, hängt von der Definition ab. Das kannst du dir am Beispiel einer Ebene klarmachen.
Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Linksvektorraum der Dimension $n [mm] \ge [/mm] 2$. Sei $W$ ein Untervektorraum der Dimension 2. Sei $a [mm] \in [/mm] V$.
1. Möglichkeit:
Dann heißt W eine Ebene und $a + W = [mm] \{a + w \ | \ w \in W\}$ [/mm] eine affine Ebene.
Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau dann, wenn $a [mm] \in [/mm] W$ gilt.
2. Möglichkeit:
Dann heißt a + W eine Ebene.
(So macht man das in der Schule, wobei V der [mm] $\IR^3$ [/mm] ist; a heißt dann der Stützvektor, er ist nicht eindeutig bestimmt, so daß es eigentlich ein Stützvektor heißen müßte. Eine Ebene ist dann i. a. kein Untervektorraum.)
Es gibt bestimmt noch weitere Varianten.
Schönen Sonntag
Dieter
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| Aufgabe | | Frage zur Hypereene |
Hallo Dieter,
ich danke dir sehr für deine Antwort, habe aber leider Schwierigkeiten, sie zu verstehen.
1) Was ist ein Linksvektorraum? Vielleicht einer, bei dem die K-Elemente von links heranmultipliziert werden?
2) Es geht mir ja in meiner Frage darum, ob die in meinem als erstes angegebenen Link gemachte Aussage wahr ist oder nicht:
https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/hyperebenen/
Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer um 1 kleineren Dimension”.
Nach meinem Verständnis besagt sie: jede Hyperebene ist ein Unterraum, also ein Vektorraum.
Und mir scheint das falsch zu sein.
3) Zu deiner Bemerkung in der
1. Möglichkeit:
Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau dann, wenn a [mm] \in [/mm] W gilt.
Wie ich das verstehe, müsste das heißen:
Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau dann, wenn a ∉ W gilt.
Ich danke dir sehr, wenn du mir weiterhelfen kannst!
Danke, dir auch einen schönen Sonntag!
Mathemurmel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 So 29.09.2024 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> 1) Was ist ein Linksvektorraum? Vielleicht einer, bei
> dem die K-Elemente von links heranmultipliziert werden?
Ja.
> 2) Es geht mir ja in meiner Frage darum, ob die in meinem
> als erstes angegebenen Link gemachte Aussage wahr ist oder
> nicht:
>
> https://www.studimup.de/lineare-algebra/lineare-gleichungssysteme/hyperebenen/
> Allgemein ist eine Hyperebene ein “Unterraum mit einer
> um 1 kleineren Dimension”.
>
> Nach meinem Verständnis besagt sie: jede Hyperebene ist
> ein Unterraum, also ein Vektorraum.
> Und mir scheint das falsch zu sein.
Nun ja, was ist hier ein Unterraum? Es gibt z. B. auch topologische Räume, die Unterräume haben können, oder Wahrscheinlichkeitsräume. Ist hier mit Unterraum Untervektorraum gemeint? Wenn ja, dann ist 'Eine Hyperebene ist ein Unterraum mit einer um 1 kleineren Dimension.' eine mögliche Definition einer Hyperebene, und jede Hyperebene ist dann per definitionem ein Vektorraum. Offen bleibt dabei im Moment, ob es im Nullvektorraum Hyperebenen gibt.
>
> 3) Zu deiner Bemerkung in der
> 1. Möglichkeit:
> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
> dann, wenn a [mm]\in[/mm] W gilt.
Wenn W eine Ebene ist, ist $0 [mm] \in [/mm] W$ und $W = 0 + W$, also ist eine Ebene eine affine Ebene.
Wenn W = a + W ist, gibt es ein $x [mm] \in [/mm] W$ mit 0 = a + x, also ist $x = -a [mm] \in [/mm] W$. Da W eine Ebene, also ein Untervektorraum ist, ist auch $a [mm] \in [/mm] W$.
> Wie ich das verstehe, müsste das heißen:
> Bem.: Jede Ebene ist eine affine Ebene, nämlich genau
> dann, wenn a ∉ W gilt.
Nein, s. o.
Schönen Abend.
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