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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:16 So 02.01.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo allerseits,
hab ein Problem mit der Berchnung des u.g. Integrals. Es geht um die Forwardzinsen im Hull/White (HW) Modell.
Gemäß der Defintion der Forwardzinsen gilt:
$ f(0,T) & = & - [mm] \frac{\partial\ ln B(0,T)}{\partial T}$
[/mm]
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] f(0,T) & = & [mm] r(0)e^{- \kappa T} [/mm] + [mm] \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \Phi [/mm] (u) du - [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2} [/mm] (1 - [mm] e^{-\kappa T})^2$
[/mm]
Setzt man in die obige Gleichung die Bondpreise ein, so erhält man die Gleichung für die Forwardzinsen.
Aufgrund der Beziehung $ [mm] \lim\limits_{T \rightarrow t} [/mm] f(t,T)\ =\ f(t,t)\ =\ r(t) $ gilt für die Short-Rate zum Zeitpunkt $t=0$: [mm] $\lim\limits_{T \rightarrow 0} [/mm] f(0,T)\ =\ r(0)$
Nun komme ich aber zu meinem Problem:
[mm] $\lim\limits_{T \rightarrow \infty}f(0,T)\ [/mm] =\ [mm] \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left\{ r(0) e^{- \kappa T} + \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \Phi (u) du - \frac{\sigma^2}{2\kappa^2} (1 - e^{-\kappa T})^2 \right\}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \lim\limits_{T \rightarrow \infty} [/mm] f(0,T)\ =\ [mm] \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left\{ \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \Phi (u) du \right\} [/mm] - [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2}$ [/mm]
Wie kann ich das Integral berechnen, wenn [mm] $\Phi [/mm] (u)$ folgendermaßen definiert ist: [mm] $\Phi [/mm] (u) = [mm] f^{ex} [/mm] (0,u) + [mm] \frac{1}{\kappa} \frac{\partial f^{ex} (0,u)}{\partial u} [/mm] + [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2}(1 [/mm] - [mm] e^{-2\kappa u})$ [/mm]
Mit [mm] $\Phi [/mm] (u)$ wird das HW-Modell an die aktuelle Zinsstrukturkurve kalibriert bzw. angepasst.
Nachdem ich [mm] $\Phi [/mm] (u)$ in den Integral eingesetzt und es ausmultipliziert habe, erhalte ich nun:
[mm] $\Leftrightarrow \lim\limits_{T \rightarrow \infty} [/mm] f(0,T)\ = [mm] \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left[ \left\{ \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \ f^{ex}(0,u) du \right\}\ + \left\{ \int\limits_0^T e^{- \kappa (T-u)}\ \frac{\partial f^{ex}(0,u)}{\partial u} du\right\}\ + \left\{ \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \frac{\sigma^2}{2\kappa^2} \left( 1-e^{-2\kappa u} \right) du \right\}\ \right] [/mm] - [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2}$ [/mm] (*)
Nachdem ich nun den dritten Integral in der obigen Gleichung ausgerechnet habe, als Ergebnis kommt $ [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2}$, [/mm] heraus. Reduziert sich (*) auf die folgende Gleichung:
[mm] $\Leftrightarrow \lim\limits_{T \rightarrow \infty} [/mm] f(0,T)\ = [mm] \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left[ \left\{ \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \ f^{ex}(0,u) du \right\}\ + \left\{ \int\limits_0^T e^{- \kappa (T-u)}\ \frac{\partial f^{ex}(0,u)}{\partial u} du\right\}\ \right] [/mm] + [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2} [/mm] - [mm] \frac{\sigma^2}{2\kappa^2}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \lim\limits_{T \rightarrow \infty} [/mm] f(0,T)\ = [mm] \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left[ \left\{ \int\limits_0^T \kappa e^{- \kappa (T-u)} \ f^{ex}(0,u) du \right\}\ + \left\{ \int\limits_0^T e^{- \kappa (T-u)}\ \frac{\partial f^{ex}(0,u)}{\partial u} du\right\}\ \right]$
[/mm]
Mir fehlt einfach die Vorstellung darüber, was der Wert der ersten beiden Integrale sein soll. Soll ich [mm] $f^{ex} [/mm] (0,u)$ wie eine Konstante behandeln oder nicht ? Ich möchte einfach ein Wert für [mm] $f^{ex} (0,\infty)$ [/mm] haben, falls es diesen geben sollte. Vielleicht sehe ich auch die Lösung nicht. Manchmal sieht man ja "den Wald vor lauter Bäumen nicht". Seit längerer Zeit sitze ich nun seit daran, aber eine befriedigende Lösung habe ich leiter noch nicht bekommen. Wäre gut mit jemandem darüber zu diskutieren.
MFG
Murat
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich kann dir leider nicht direkt weiterhelfen, würde aber eventuell schon mir dir zusammen darüber nachdenken, wenn du mich ein bisschen in die Notationen etc. einführst und ich was nachlesen kann.
Woher hast du die ganzen Beziehungen, aus welchem Buch? Wo kann ich das alles nachlesen, denn in dieser Form sind mir einige Gleichheiten des Hull-White-Modells nicht geläufig. Was bedeutet [mm] $f^{ex}$? [/mm] Wie ist das definiert?
Mich interessiert die Finanzmathematik nicht mehr besonders, muss ich zugeben, aber hier scheint es mir um rein analytische Probleme zu gehen. Also, wenn du mir mehr Infos gibst, denke ich darüber nach. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:10 Fr 11.03.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo Stefan,
sorry, es hat etwas länger gedauert. Ich war eine Zeit lang nicht online, und hatte schon die Hoffung aufgeben, daß jemand antworten würde. In der zwischenzeit habe ich eine brauchbare Lösung in Brigo/Mercrio (Interest Rate Models - theory and Practice, S. 63 - 65 ) gefunden. Aber auch einzelne Lösungen sind in Zinsderivate - Modelle und Bewertung (S. 173 - 177) zu finden.
Nochmals Danke für deine Bemühungen.
Gruß
Murat
> Hallo!
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> Ich kann dir leider nicht direkt weiterhelfen, würde aber
> eventuell schon mir dir zusammen darüber nachdenken, wenn
> du mich ein bisschen in die Notationen etc. einführst und
> ich was nachlesen kann.
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> Woher hast du die ganzen Beziehungen, aus welchem Buch? Wo
> kann ich das alles nachlesen, denn in dieser Form sind mir
> einige Gleichheiten des Hull-White-Modells nicht geläufig.
> Was bedeutet [mm]f^{ex}[/mm]? Wie ist das definiert?
>
> Mich interessiert die Finanzmathematik nicht mehr
> besonders, muss ich zugeben, aber hier scheint es mir um
> rein analytische Probleme zu gehen. Also, wenn du mir mehr
> Infos gibst, denke ich darüber nach.
>
> Viele Grüße
> Stefan
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