Hülle < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
| Aufgabe | | Wir betrachten die beiden Vektoren v1 = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 5} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] in [mm] \IR^3 [/mm] . Entscheiden sie, welche der Vektoren w1 = [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 2} [/mm] , w2= [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 9} [/mm] und w3= [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 6} [/mm] in der lin. Hülle V=span(v1;v2) [mm] \subset \IR^3 [/mm] liegen. Antwort begründen. |
Jetzt habe ich folgende Idee zur Prüfung der wi :
wi [mm] \in [/mm] V [mm] \gdw \lambda_{1}v1 [/mm] + [mm] \lambda_{2}v2= [/mm] wi mit [mm] \lambda_{1} \not= [/mm] 0 oder [mm] \lambda_{2} \not= [/mm] 0
Jetzt will ich das rechnerisch prüfen und dann eine Aussage über wi treffen. Kann man das so machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 30.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Big_Head,
> Jetzt habe ich folgende Idee zur Prüfung der wi :
>
> wi [mm]\in[/mm] V [mm]\gdw \lambda_{1}v1[/mm] + [mm]\lambda_{2}v2=[/mm] wi mit
> [mm]\lambda_{1} \not=[/mm] 0 oder [mm]\lambda_{2} \not=[/mm] 0
Für [mm] $w\in \IR^3$ [/mm] gilt [mm] $w\in [/mm] V$ genau dann, wenn [mm] $\lambda_1,\lambda_2\in\IR$ [/mm] (nicht notwendig verschieden von 0) existieren mit [mm] $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2=w$.
[/mm]
> Jetzt will ich das rechnerisch prüfen und dann eine
> Aussage über wi treffen. Kann man das so machen?
Ja!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 So 06.05.2012 | | Autor: | love |
Aufgabe
Wir betrachten die beiden Vektoren v1 = $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 5} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] $ in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ . Entscheiden sie, welche der Vektoren w1 = $ [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 2} [/mm] $ , w2= $ [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 9} [/mm] $ und w3= $ [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 6} [/mm] $ in der lin. Hülle V=span(v1;v2) $ [mm] \subset \IR^3 [/mm] $ liegen. Antwort begründen.
Bei dieser Aufgabe komme ich auch nicht weiter.Könnt Ihr mir wenigstens den ersten Schritt zeigen Bitte:(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 06.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe
> Wir betrachten die beiden Vektoren v1 = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 5}[/mm]
> und
[mm] $$\red{v_2}:=$$
[/mm]
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] in [mm]\IR^3[/mm] . Entscheiden sie, welche
> der Vektoren w1 = [mm]\vektor{0 \\ 5 \\ 2}[/mm] , w2= [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 9}[/mm]
> und w3= [mm]\vektor{6 \\ 1 \\ 6}[/mm] in der lin. Hülle
> V=span(v1;v2) [mm]\subset \IR^3[/mm] liegen. Antwort begründen.
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich auch nicht weiter.Könnt Ihr
> mir wenigstens den ersten Schritt zeigen Bitte:(
das geht genauso wie Tobias es gesagt hat, als er auf die Frage geantwortet und einen kleinen Korrekturhinweis gegeben hat:
Um zu entscheiden, ob [mm] $w_1$ [/mm] in [mm] $V\,$ [/mm] liegt, betrachte das GLS
[mm] $$\lambda_1 v_1+\lambda_2v_2=w_1$$
[/mm]
und entscheide (durch Rechnung), ob dies lösbar ist.
(Beachte: Nach Einsetzen von [mm] $v_1,v_2$ [/mm] und [mm] $w_1$ [/mm] erhältst Du drei Gleichungen (durch zeilenweise Lesen des GLS!) für zwei Variablen [mm] $\lambda_{1}$ [/mm] und [mm] $\lambda_2\,.$)
[/mm]
Analog mit [mm] $w_2$ [/mm] und [mm] $w_3\,.$
[/mm]
Genau das ist der erste Schritt:
Das GLS
[mm] $$\lambda_1 v_1+\lambda_2v_2=w_1$$
[/mm]
betrachten.
Der zweite wäre nun das Einsetzen der gegebenen Vektoren [mm] $v_1,v_2$ [/mm] und [mm] $w_1\,$ [/mm] - das schaffst Du auch noch alleine!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 06.05.2012 | | Autor: | love |
Also ich glaube ich hab es verstanden..für lambda soll ich einfach zahlen einsetzen und am Ende soll w rauskommen?`z.B
wenn ich fur lambda=1 einsetze kommt w2 raus neh?
aber bei anderen geht das irgendwie nicht ,habe die ganze Zeit ausprobiert..
oder waren meine Schritte falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 06.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich glaube ich hab es verstanden..für lambda soll ich
> einfach zahlen einsetzen
nein, Du sollst ausrechnen, ob es Zahlenpaare [mm] $(\lambda_1,\lambda_2) \in \IR^2$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $$\lambda_1v_1+\lambda_2v_2=w_1$$
[/mm]
ist. Durch Einsetzen von [mm] $v_1,v_2$ [/mm] und [mm] $w_1$ [/mm] erhältst Du doch ein Gleichungssystem:
3 Gleichungen (Zeilen!) mit zwei Variablen [mm] ($\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$).
[/mm]
> und am Ende soll w rauskommen?'z.B
> wenn ich fur lambda=1 einsetze kommt w2 raus neh?
Was rechnest Du da?
> aber bei anderen geht das irgendwie nicht ,habe die ganze
> Zeit ausprobiert..
> oder waren meine Schritte falsch?
Erzähl' mal:
Wie sieht das Gleichungssystem für [mm] $w_1$ [/mm] bei Dir aus?
Also generell:
Ich hätte keine Lust, bei dem GLS
[mm] $$1*\lambda_1+2*\lambda_2=0\,,$$
[/mm]
[mm] $$2*\lambda_1+3*\lambda_2=5\,,$$
[/mm]
[mm] $$5*\lambda_1+4*\lambda_2=2$$
[/mm]
durch ausprobieren aller möglichen Werte für [mm] $\lambda_1 \in \IR$ [/mm] und auch noch [mm] $\lambda_2 \in \IR$ [/mm] herauszufinden, ob dieses GLS lösbar ist oder nicht. Das kann man anders/schneller/vor allem logisch einfacher machen (etwa Gauss-Algorithmus).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
