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Hallo,
ein ebenerdiger Wasserspeicher in der Form eines Zylinders (d= 2m; h=4m) soll mit einer Pumpe (ebenfalls ebenerdig) komplett gefüllt werden. Die Zuleitung befindet sich in Fall a) am oberen Ende des Wasserspeicher und in Fall b) am unteren Ende des Wasserspeiches.
Wird in beiden Fällen die theoretisch gleiche Hubarbeit verrichtet? Oder wird in Fall a) mehr gearbeitet weil ja das komplette Volumen erst auf die komplette Höhe des Wasserspeichers gebracht werden muss?
(In beiden Fällen wird das gleiche Volumen gefördert und die obere Zuleitung ist nach Befüllen komplett unter Wasser...)
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> ein ebenerdiger Wasserspeicher in der Form eines Zylinders
> (d= 2m; h=4m) soll mit einer Pumpe (ebenfalls ebenerdig)
> komplett gefüllt werden. Die Zuleitung befindet sich in
> Fall a) am oberen Ende des Wasserspeicher und in Fall b) am
> unteren Ende des Wasserspeiches.
> Wird in beiden Fällen die theoretisch gleiche Hubarbeit
> verrichtet? Oder wird in Fall a) mehr gearbeitet weil ja
> das komplette Volumen erst auf die komplette Höhe des
> Wasserspeichers gebracht werden muss?
letzteres ist richtig.
Gruß, Diophant
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O.K.
Dann habe ich noch eine Anschlussfrage:
Angenommen Fall b) der Zulauf liegt an der Bodenplatte des Zylinders...
Wir haben nun 2 verschiedene Zylinder:
Der erste hat also einen Durchmesser von 2 Meter und eine Höhe von 4 Meter. Der zweite hat einen Durchmesser von 1 Meter und entsprechend die Höhe sodass beide Zylinder dasgleiche Volumen haben.
Bei welchem Zylinder wird mehr Arbeit gebraucht um ihn zu füllen?
LG und besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 04.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erstmal solltest du selbst überlegen, denk dabei daran welche Lageenergie das Wasser in den 2 Zylindern am Ende hat. Oder überöege, wenn der eine Zylinder 1cm der andere 100m hoch wäre.
Gruß leduart
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O.K.
Ich glaub ich hab verstanden:
Wir haben also Volumen mal Dichte mal Erdbeschleunigung mal Höhe = Hubarbeit. Wenn nun alles gleich ist bis auf die Höhe dann kann es ja schlecht bei beiden Zylindern die gleiche aufgewendete Arbeit sein...
Ich habe aber noch ein anderes Problem. Und zwar verstehe ich konkret die Pumpenarbeit noch nicht so ganz... Ich fange einfach mal an mein Verständnis von verschiedenen Formen von physikalischer Arbeiten darzustellen:
Beispiel 1:
Ein Hubwagen hebt ein Gewicht mit einer Kraft von 500 N von null auf 3 Meter. Be und Entschleunigung lassen wir mal weg. Die Kraft ist also konstant. Im Kraft Weg Diagramm haben wir also eine waagerechte Linie bei 500 N. Es gilt:
F(h)=50
Für die Kraft haben wir nun:
[mm] \integral_{0}^{3}{50dh}=(50*3)-(50*0)=150Nm
[/mm]
Beispiel 2:
Eine Druckfeder wird um10cm zusammengedrückt. Die Kraft ist hier nicht konstant. Durch die Federkonstante ergibt sich eine lineare Funktion im Kraft Weg Diagramm. Es ergibt sich:
F(s)=cs
Durch folgende Integration bekommen man die Arbeit:
[mm] \integral_{0}^{0,1}{cs*ds}=c*((\br{1}{2}*0,1^2))-(0))
[/mm]
Und nun die Pumpe:
Ein zylinderfoermiger Behälter von 4 Meter Höhe und einem Volumen von [mm] 10m^3 [/mm] soll komplett gefüllt werden. Der Einlassstutzen, die Pumpe und der Behälter sind ebenerdig angeordnet. Hier bin ich mir nicht mehr sicher welche Kraft Weg Funktion hier gilt. Da ja kontinuierlich die Wassersäule steigt und somit der Kraftaufwand auch müsste es eine lineare Funktion sein. Aber wie bilde ich die Funktion:
Mein Ansatz:
F(h)=h
Wie bilde ich die Konstante? Oder habe ich ein Denkfehler?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo!
Diese Beispiele sind schon nicht verkehrt, und es ist, wie du sagst, ein linearer Zusammenhang.
Die Gegenkraft kommt doch von der bereits im Zylinder stehenden Wassersäule, genauer, von deren Gewicht. Wie man das ausrechnet, scheinst du ja 'raus zu haben
Zum Verständnis:
Stell dir vor, daß die Pumpe z.B. so viel Wasser rein pumpt, daß der Wasserspiegel um 1mm steigt. Dann kannst du sagen, daß die Pumpe die gesamte Wassersäule (also deren Gewicht) um 1mm hoch gestemmt hat, und eine neue Scheibe Wasser darunter gelegt hat.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Sinngemäß wie von Event_Horizon, nur etwas anders formuliert:
Die Säule hat eine Masse m, die hängt von der Höhe, dem Durchmesser und der Dichte ab. Nur die Höhe ändert sich. Damit kannst Du die Gewichtskraft als Funktion dieser Größen angeben. Die aktuelle Höhe ist s. Die Arbeit, um die Säule um die Strecke ds anzuheben, beträgt $F * ds$. Nun setzt Du für F ein und schreibst noch das Integralzeichen mit den Grenzen davor.
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Hallo,
O.K. also mathematisch gesehen kann man das Modell "Pumpe" durchaus mit dem Modell "Druckfeder" vergleichen?
So komme ich auf:
[mm] F(h)=g*v*\sigma*h=g*m*h
[/mm]
Und somit auf:
[mm] W=g*m*\integral_{0}^{h}{h}=g*m((\br{1}{2}*h^2)-(\br{1}{2}*0^2))=\br{1}{2}*h^2*g*m
[/mm]
Ist die Rechnung so korrekt?
LG und besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Die Eiheitenkontrolle sagt, dass es nicht stimmen kann. Welches m meinst Du?
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Oh je, ich dachte ich hätte es verstanden... Ich meinte die Masse? Aber die Einheiten müssten eigentlich passen? m*g ergibt Newton und das mal die Höhe ergibt N*m oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Das m für die Masse steht ist klar. Welche Masse? Bei halb, ganz gefülltem Zylinder?
In Deinem Ergebnis steht h im Quadrat. Damit hat es die Einheit Energie mal Länge.
Rechne den Weg, den ich Dir aufgezeigt habe.
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O.K. Wir haben also folgendes:
[mm] m(h)=\sigma*\br{\pi*d^2}{4}*h
[/mm]
Dann haben wir für die Kraft:
F(m(h))=m(h)*g
So haben wir eine Verkettung der beiden Funktionen. Ist das so korrekt?
LG
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Hallo!
So stimmt es jetzt. Nun noch über h integrieren, und dann paßt das.
Ach ja, eine Sache erkennt man:
Du schichtest da sehr viele "Wasserscheiben" übereinander. Manche mußt du dafür sehr hoch heben, andere weniger hoch. Der Schwerpunkt des ganzen Wassers liegt jedoch auf halber Höhe, und den kannst du auch benutzen: [mm] E=mg*\frac{h}{2}[/mm]
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Ja sehr schön... Das hat mir wirklich sehr weitergeholfen...
O.K. Dann habe ich jetzt noch die Aufgabe um dies es mir eigentlich ging...
Die Funktionskurve [mm] f(x)=\wurzel{1m*x} [/mm] ergibt durch Rotation um die y Achse einen Trichter. Dieser soll auf die Höhe von 5 m von unten her gefüllt werden.
Mein Ansatz:
Erst mal nach x auflösen:
[mm] x=y^2
[/mm]
Dann eingesetzt in das Volumenintegral:
[mm] V_y=\pi*\integral{y^4*dy}=\br{\pi*y^5}{5}
[/mm]
Also gilt für die Masse:
[mm] m(y)=\sigma*\br{\pi*y^5}{5}
[/mm]
Für die Kraft gilt nun:
[mm] F(m(y))=\sigma*\br{\pi*y^5}{5}*g
[/mm]
Und dann nochmal integrieren um die Arbeit zu ermitteln:
[mm] W=\br{\sigma*\pi*g}{5}*\integral_{0}^{5}{y^5*dy}
[/mm]
Scheint erst mal O.K. zu sein, ist aber noch ein Fehler drinne nämlich die 5 im Bruch ist über... Findet jemand den Fehler?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 05.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum irritiert dich die 5? vielleicht rechnest du, wie beim Zylinder mal W in Abhängigkeit von der Gesamtmasse aus, oder du bestimmst den Schwerpunkt der Masse und damit die Lageenergie.
Gruß leduart
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Im Lösungsbuch steht es so... Ich kann es mir nicht erklären...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 05.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was genau steht im Lösungsbuch?
Gruß leduart
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Dort steht folgendes:
[mm] W=\pi*\rho*g*\integral_{0}^{5}{y^5dy} \Rightarrow W=8,026*10^7 [/mm] Nm
Habe schon mehrfach nachgerechnet aber ich komme nicht drauf...
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich denke mal, dass in der Lösung die 5 im Nenner vergessen wurde. Da es sein kann, dass ich etwas übersehen habe, lasse ich die Frage als teilweise beantwortet offen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Haklo
die Losung im Buch ist richtig, un die Masse [mm] dm=\pi*\rho*y^4dy [/mm] auf die Höhe y zu bringen muss man die Arbeit die Kraft g*dm aufbringen also die Arbeit [mm] dW=F*y=\pi*\rho*y^5dy [/mm]
darüber musst du integrieren. dein Weg war falsch, weil du irgendwie die Gesamtmasse bis y für die Kraft genommen hast.
Gruß leduart
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