Householdermatrix für GLS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren [mm] x=\vektor{0 \\ 3 \\ 4} [/mm] und [mm] y=\vektor{5 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Geben Sie eien orthogonale Matrix H an, so dass Hx=y.
(Hinweis: Wählen Sie H als Householder-Matrix.) |
Hallo,
Ich soll diese Aufgabe als Hausaufgabe lösen, ich habe auch so ungefähr eine Ahnung wie man an eine Householder-Matrix im Zuge der normalen QR-Zerlegung rankommt, jedoch sind die Bildungsvorschriften, die ich dazu im Netz finde meist so, dass man von einem gegebenen A aus Ax=b eine QR-Zerlegung macht und dazu die Householdermatrizen in mehreren Schritten bestimmt. Hier soll ich aber bei bereits 2 bekannten Vektoren sozusagen "von hinten" an das Problem herangehen. Ich soll eine Householder Matrix bestimmen, die das Gleichungssystem löst.
Householder Matrizen müssen mehrere Eigenschaften erfüllen.
1) sie ist symmetrisch: H = [mm] H^T [/mm] (transponiert)
2) sie ist orthogonal: H^-1 = [mm] H^T
[/mm]
3) sie ist involutorisch: H*H = Einheitsmatrix
4) sie hat die Eigenwerte 1 und -1
Es gibt eine ganz einfache Bildungsvorschrift für die Householder-Matrix:
[mm] H=I-(2/v^T*v)v*v^T
[/mm]
v ist abei ein Vektor. Wenn ich also nach dieser simplen Bildungsvorschrift mein H berechnen kann, dann stellt sich für mich die Frage wie ich mit meinen gegebenen x und y an dieses besagte v herankomme.
Vielen Dank im vorraus für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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so, ich habe mal den Prof. befragt, folgendes ist dabei herausgekommen:
um v zu bilden muss man v=x-y bilden,
d.h. [mm] v=\vektor{0 \\ 3 \\ 4}-\vektor{5 \\ 0 \\ 0} =\vektor{-5 \\ 3 \\ 4} [/mm] ,
daraus folgt, dass [mm] H=I-\bruch{2*v*v^T}{v^T*v}
[/mm]
[mm] H=\pmat{ 0 & .6 & .8 \\ .6 & .64 & -.48 \\ .8 & -.48 & .36}
[/mm]
[mm] H*H=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] <-- involutorisch
[mm] H^T=H [/mm] <-- symmetrisch
[mm] H^T=H^-1 [/mm] <-- orthogonal
Eigenwerte von H: -1, 1, 1 <-- stimmt auch mit Householdermatrizen überein!
H*x=y:
[mm] \pmat{ 0 & .6 & .8 \\ .6 & .64 & -.48 \\ .8 & -.48 & .36}*\vektor{0 \\ 3 \\ 4}=\vektor{5 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 29.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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