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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 So 04.01.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Wende das Householder Algorithmus auf die Rotationsmatrix an
[mm] A=\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
gebe eine geometrische Interpretation des Ergebnisses |
Hallo
ich bin folg an die aufgabe herangegangen:
[mm] v_1=a_1+ \alpha\cdot e_1, Q_1=I-\bruch{2vv^t}{v^T \cdot v}, \alpha=sign(a_{11})\cdot ||a_1||_2
[/mm]
[mm] a_1= [/mm] 1. Spalte der Matrix
ich habe dann [mm] \alpha_1=sign(cos\alpha)\cdot ||\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}||_2= (cos\alpha^2+sin\alpha^2)^{1/2}=1
[/mm]
dann [mm] v_1=\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}+1\cdot\vektor{1\\ 0}=\vektor{cos\alpha+1 \\ sin\alpha}
[/mm]
[mm] 2\cdot \bruch{vv^T}{v^T\cdot v}=2\cdot\bruch{\vektor{cos\alpha+1 \\ sin\alpha}\cdot \pmat{ cos\alpha+1& sin\alpha }}{ \pmat{ cos\alpha+1& sin\alpha }\cdot \vektor{cos\alpha+1 \\ sin\alpha}}=\pmat{ cos\alpha+1 & sin\alpha \\ sin\alpha & \bruch{sin\alpha^2}{cos\alpha+1} }
[/mm]
dann ist [mm] Q_1=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }-\pmat{ cos\alpha+1 & sin\alpha \\ sin\alpha & \bruch{sin\alpha^2}{cos\alpha+1} }
[/mm]
[mm] =\pmat{ -cos\alpha & -sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha }=Q_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow Q_1\cdot A=\pmat{ -cos\alpha & -sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha }\cdot \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }=R
[/mm]
ist es bin dahin richtig? wie mach ich weiter?
dankeschön im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 05.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo knowhow!
> Wende das Householder Algorithmus auf die Rotationsmatrix
> an
>
> [mm]A=\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> gebe eine geometrische Interpretation des Ergebnisses
> Hallo
>
> ich bin folg an die aufgabe herangegangen:
>
> [mm]v_1=a_1+ \alpha\cdot e_1, Q_1=I-\bruch{2vv^t}{v^T \cdot v}, \alpha=sign(a_{11})\cdot ||a_1||_2[/mm]
>
> [mm]a_1=[/mm] 1. Spalte der Matrix
>
> ich habe dann [mm]\alpha_1=sign(cos\alpha)\cdot ||\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}||_2= (cos\alpha^2+sin\alpha^2)^{1/2}=1[/mm]
>
> dann [mm]v_1=\vektor{cos\alpha \\ sin\alpha}+1\cdot\vektor{1\\ 0}=\vektor{cos\alpha+1 \\ sin\alpha}[/mm]
>
> [mm]2\cdot \bruch{vv^T}{v^T\cdot v}=2\cdot\bruch{\vektor{cos\alpha+1 \\ sin\alpha}\cdot \pmat{ cos\alpha+1& sin\alpha }}{ \pmat{ cos\alpha+1& sin\alpha }\cdot \vektor{cos\alpha+1 \\ sin\alpha}}=\pmat{ cos\alpha+1 & sin\alpha \\ sin\alpha & \bruch{sin\alpha^2}{cos\alpha+1} }[/mm]
>
> dann ist [mm]Q_1=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }-\pmat{ cos\alpha+1 & sin\alpha \\ sin\alpha & \bruch{sin\alpha^2}{cos\alpha+1} }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ -cos\alpha & -sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha }=Q_1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Q_1\cdot A=\pmat{ -cos\alpha & -sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha }\cdot \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }=R[/mm]
>
> ist es bin dahin richtig?
Ja.
> wie mach ich weiter?
Mit [mm] $Q:=Q_1\$ [/mm] folgt [mm] $A=QR\$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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