Householder-Transf, Normierung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:15 Di 08.12.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Eine Matrix der Gestalt P=I- [mm] \frac{2}{v^{\*}v} [/mm] v v* [mm] \in \mathbb{K}^{r \times r} [/mm] mit v [mm] \in \mathbb{K}^r \setminus \{0\} [/mm] wird Householder-Transformation genannt.
Wir wollen einer Houeholder-Transromation P, die einen beliebig vorgegebenen Vektor x [mm] \in \mathbb{K}^r \setminus \{0\} [/mm] auf einer Vielfaches von [mm] e_1 \in \mathbb{K}^r [/mm] spiegelt, d.h.
Px= x- [mm] \frac{2}{v^{\*}v} [/mm] v v* x= r [mm] e_1, |r|=||x||_2
[/mm]
Aus der Abbildung wird deutlich, dass v ein Vielfaches von x- r [mm] e_1 [/mm] sein muss.(P ist unabhängig von der Norm von v) Mit geeigneter Normierung wählen wir
[mm] v=\begin{cases} \frac{x}{||x||_2}+\frac{x_1}{|x_1|} e_1, & \mbox{für } x_1 \not=0 \\ \frac{x}{||x||_2}+e_1, & \mbox{für } x_1=0 \end{cases}
[/mm]
wobei [mm] x_1 [/mm] die erste Komponente in x ist.
Frage: Wie schaut diese Normierung aus um auf dieses v zu kommen?
Das v die angegebenen Konditionen erfüllt ist schon nachgerechnet, aber ich möchte auch wissen wie ich auf das v komme. |
Hallo,
Mir ist klar v= [mm] \alpha [/mm] *(x- r [mm] e_1), [/mm] aber wie schaut [mm] \alpha [/mm] aus?
Klar wenn ich mir [mm] \alpha [/mm] (x- [mm] re_1)= \frac{x}{||x||_2} [/mm] + [mm] \frac{x_1}{|x_1|} e_1 [/mm] anschaue erhalte ich einmal [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac{\frac{x_1}{||x||_2}+\frac{x_1}{|x_1|}}{x_1-r} [/mm] von der ersten Komponente und [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac{1}{||x||_2} [/mm] von den restlichen.
Im Übrigen hat r die Gestalt: [mm] r*\overline{r}= ||x||_2^2 [/mm]
Aber wieso gerade diese Normierung?
Ich hab zuerst gedacht, es wir so gewählt, dass die erste Komponente von v gleich 1 ist für eine gute Implementierung aber das scheint nicht die Normierung von oben zu sein.
LG,
sissi
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 10.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
