Homotopie von Räumen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien $X,Y,Z$ topologische Räume. Zeigen Sie, dass aus [mm] $X\sim [/mm] Y$ und [mm] $Y\sim [/mm] Z$ folgt: [mm] $X\sim [/mm] Z$ |
Hallo,
ich möchte zeigen, dass die Homotopie von Räumen transitiv ist.
Dazu habe ich eine Frage zu unserer Definition. Das ist ![[]](/images/popup.gif) hier die Definition 14.7, wobei dort anscheinend vergessen wurde, dass die Abbildungen stetig sein soll.
Hier werden nicht zwei verschiedene Dinge definiert, oder?
Einmal die "Homotopie" und einmal "Homotopie relativ zu ..."
Zum Beweis:
[mm] $X\sim [/mm] Y$ und [mm] $Y\sim [/mm] Z$. Also gibt es stetige Abbildungen $f, f', g, g'$ mit
[mm] $f:X\to [/mm] Y$, $g: [mm] Y\to [/mm] X$, [mm] $f':Y\to [/mm] Z$, $g': [mm] Z\to [/mm] Y$, mit den Eigenschaften aus der Definition, also exemplarisch
[mm] $g\circ f\sim id_X$ [/mm] und [mm] $f\circ g\sim id_Y$.
[/mm]
Zeigen muss ich nun also, dass es stetige Abbildungen $f''$ und $g''$ gibt, mit
$f'': [mm] X\to [/mm] Z$ und [mm] $g'':Z\to [/mm] X$, mit [mm] $g''\circ f''\sim id_X$ [/mm] und [mm] $f''\circ g''\sim id_Z$
[/mm]
Sei nun [mm] $f'':=f'\circ [/mm] f$ und [mm] $g'':=g\circ [/mm] g'$. Beide Funktionen sind als Verkettung stetiger Funktionen stetig.
Zeigen muss ich nun, unter anderem, dass [mm] $g''\circ f''\sim id_X$
[/mm]
Also:
[mm] $g''\circ f''=(g\circ g')\circ (f'\circ f)=g\circ (g'\circ f')\circ [/mm] f
[mm] =g\circ id_Y\circ f=g\circ f=id_X$
[/mm]
Analog zeigt man [mm] $f''\circ g''\sim id_Z$.
[/mm]
Korrekt?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Ladon |
In Hatcher ist die Definition ebenfalls zu finden (S. 3). Die Relation wird dort "homotopy equivalent" genannt oder man sagt $X$ und $Y$ sind vom selben "Homotopietyp".
Die zweite Definition bezieht sich auf pointed topological spaces.
Man schreibt in Definitionen häufig gar nicht, dass es sich um stetige Funktionen handelt, da es in der algebraischen Topologie wenig Sinn macht, dass eine Funktion nicht stetig ist. Man sollte davon ausgehen, dass die Funktion stetig ist. 
Der Beweis ist in Ordnung, wenn du ihn noch etwas ausformulierst.
Viele Grüße
Ladon
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Danke für die Antwort.
Was meinst du mit ausformulieren? An welchen Stellen sollte ich konkreter werden, oder ist einfach meine Notation im Beweis zu salopp?
Dass man in der Definition die Stetigkeit manchmal weglässt, weil man es sich "denken" kann finde ich ein bisschen eigenartig, wo man sonst so streng damit ist.
Ok, in der Algebra sagt man ja auch nicht immer, dass ein Ring kommutativ ist.
Dann wird das aber vorher so notiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 07.06.2016 | | Autor: | Ladon |
Der Beweis hat keine substantiellen Fehler. Es handelt sich nur um Kleinigkeiten, die je nach Geschmack etwas ausführlicher sein könnten. Für mich persönlich würde der Beweis ausreichen.
> Also gibt es stetige Abbildungen $ f, f', g, g' $ mit
> $ [mm] f:X\to [/mm] Y $, $ g: [mm] Y\to [/mm] X $, $ [mm] f':Y\to [/mm] Z $, $ g': [mm] Z\to [/mm] Y $, mit den
> Eigenschaften aus der Definition, also exemplarisch
> $ [mm] g\circ f\sim id_X [/mm] $ und $ [mm] f\circ g\sim id_Y [/mm] $.
Bitte noch analog für $g'$ und $f'$ formulieren.
> Zeigen muss ich nun also, dass es stetige Abbildungen $ f'' $ und $ g'' $
> gibt, mit
> $ f'': [mm] X\to [/mm] Z $ und $ [mm] g'':Z\to [/mm] X $, mit $ [mm] g''\circ f''\sim id_X [/mm] $
> und $ [mm] f''\circ g''\sim id_Z [/mm] $
> Sei nun $ [mm] f'':=f'\circ [/mm] f $ und $ [mm] g'':=g\circ [/mm] g' $. Beide Funktionen sind als
> Verkettung stetiger Funktionen stetig.
> Zeigen muss ich nun, unter anderem, dass $ [mm] g''\circ f''\sim id_X [/mm] $
> Also:
> $ [mm] $g''\circ f''=(g\circ g')\circ (f'\circ f)=g\circ (g'\circ f')\circ [/mm] $ f
> $ [mm] =g\circ id_Y\circ f=g\circ f=id_X$ [/mm] $
> Analog zeigt man $ [mm] f''\circ g''\sim id_Z [/mm] $.
Der letzte Kommentar kann auch noch etwas expliziter aufgeschrieben werden.
Das ist aber, wie gesagt, Geschmackssache.
PS:
In Hatcher findet man unter Kapitel 0 den kurzen Hinweis:
To avoid overusing the word ‘continuous’ we adopt the convention that maps between spaces are always assumed to be continuous unless otherwise stated.
Es ist also nicht ungewöhlich Stetigkeit wegzulassen. Aber du hast Recht: Man sollte es irgendwo notieren.
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Ok, vielen Dank.
Ja, ich habe es hier teilweise auch Abgekürzt, im Aufschrieb werde ich die notwendigen Dinge dazuschreiben.
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