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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 18.11.2012 | | Autor: | Z91 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich brauche dringend Hilfe
Gegeben ist eine Gruppe ( G, °). Fur ein Element a [mm] \in [/mm] G wird eine Abbildung durch
T a : G -> G, x |-> a*x*a^-1
de niert.
a) Zeigen Sie, dass T a ein Gruppenhomomorphismus ist.
b) Uberprüfen Sie für a, b [mm] \in [/mm] G, dass T a ° T b = Ta*b
c) Zeigen Sie, dass T a ein Isomorphismus ist.
d) Zeigen Sie, dass die Menge T := {T a | a [mm] \in [/mm] G} eine Untergruppe von (Aut(G),° ) ist.
Ich habe keine Idee wie ich die Aufgabe lösen soll.
Vielen Dank schon mal .
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Aufgabe 1
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich brauche dringend Hilfe
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> Gegeben ist eine Gruppe ( G, °). Fur ein Element a [mm] \in [/mm]
> G wird eine Abbildung durch
> T a : G -> G, x |-> a*x*a^-1
> de niert.
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> a) Zeigen Sie, dass T a ein Gruppenhomomorphismus ist.
Weise die Homomorphiebdingungen nach.
> b) Uberprüfen Sie für a, b [mm] \in [/mm] G, dass T a ° T b
> = Ta*b
Setze so an:
[mm]{T_a}\circ{T_b}=abxb^{-1}a^{-1}[/mm]
und forme den hinteren Teil
[mm] b^{-1}a^{-1}
[/mm]
geeignet um (da würde ich jetzt einiges wetten, dass diese Umformung davor schon irgendwo als Übungsaufgabe drankam).
> c) Zeigen Sie, dass T a ein Isomorphismus ist.
Na ja, da muss man 'einfach' zeigen, dass [mm] T_a [/mm] bijektiv ist. Die Injektivität ist einfach, bei der Surjektivität muss man ein wenig trickreich argumentieren.
> d) Zeigen Sie, dass die Menge T := T a | a [mm] \in [/mm] G eine
> Untergruppe von (Aut(G),° ) ist.
Nimm die Menge sämtlicher Automorphismen auf G und wende die Untergruppenkriterien an.
Gruß, Diophant
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