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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:19 Do 04.04.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Zeige: Die Verknüpfung von zwei Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus.
Eine funktionale Struktur N ist genau dann eine Substruktur einer Struktur M derselben Signatur, wenn [mm] \underline{N} \subseteq \underline{M} [/mm] gilt und die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus ist. |
Gegeben seien funktionale Strukturen M, N ,K derselben Signatur.
h: [mm] \underline{M} [/mm] -> [mm] \underline{N} [/mm] sei ein Homomorphismus von M nach N
d.h.für jedes k stellige Operationssymbol g und [mm] \forall [/mm] k Tupel [mm] (x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k) \in \underline{M}^k [/mm] gilt:
[mm] h(g(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k))=g(h(x_1),..,h(x_k))
[/mm]
H: [mm] \underline{N} [/mm] -> [mm] \underline{K} [/mm] sei ein Homomorphismus von N->K
d.h. für jedes k stellige Operationssymbol g und [mm] \forall [/mm] k Tupel [mm] (x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k) \in \underline{N}^k [/mm] gilt:
[mm] H(g(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k))=g(H(x_1),..,h(x_k))
[/mm]
ZZ.: H [mm] \circ [/mm] h ist ein Homomorphismus:
d.h.für jedes k stellige Operationssymbol g und [mm] \forall [/mm] k Tupel [mm] (x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k) \in \underline{M}^k [/mm] gilt:
(H [mm] \circ [/mm] h) [mm] (g(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k))=g((H \circ h)(x_1),..,(H \circ h)(x_k))
[/mm]
Bew.:
(H [mm] \circ [/mm] h) [mm] (g(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k)) [/mm] = [mm] H(h(g(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k)) [/mm] = [mm] H(g(h(x_1),..,h(x_k)))=g(H(h(x_1)),..,H(h( x_k))) [/mm] = g((H [mm] \circ h)(x_1),..,(H \circ h)(x_k))
[/mm]
Stimmt das?
Eine Substruktur einer Struktur M ist eine Struktur mit derselben Signatur sodass [mm] \underline{N} \subseteq \underline{M} [/mm] gilt und die Operationen von N sich durch EInschränken der Operationen von M ergeben.
Es genügt also zuzeigen: Inklusionsabbildung von [mm] \underline{N} [/mm] -> [mm] \underline{M} [/mm] von N nach M ist ein Homomorphismus <=> die Operationen von N sich durch Einschränkung der Operationen von M ergeben.
Muss ich das zeigen oder hab ich etwas falsch formuliert?Und wie zeig ich das?http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=180096&start=0&lps=1328846#v1328846
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 06.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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