Homomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mi 20.10.2010 | | Autor: | i-man |
| Aufgabe 1 | Sei G eine Gruppe. Für ein g [mm] \in [/mm] G sei [mm] \phi_{g}: [/mm] G [mm] \to [/mm] Bij(G,G) definiert durch $ [mm] \phi_{g} [/mm] $(h) := [mm] ghg^{-1}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Abbildung
G [mm] \to [/mm] Bij(G,G), g [mm] \to [/mm] $ [mm] \phi_{g} [/mm] $ ein Gruppenhomomorphismus ist. |
| Aufgabe 2 | | Und zeigen Sie, dass im Falle G= [mm] S_{2} [/mm] diese Abbildung weder injektiv noch surjektiv ist. |
Bei Aufgabe 1 weiß ich nicht, wie ich da genau vorgehen soll. Also ich würde halt das versuchen mit dem Gruppenhomomorpdismus zu beweisen. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Und bei Aufgabe 2 stehe ich total auf dem Schlauch.
gruß
I-Man
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine Gruppe. Für ein g [mm]\in[/mm] G sei [mm]\phi_{g}:[/mm] G [mm]\to[/mm]
> Bij(G,G) definiert durch [mm]\phi_{g} [/mm](h) := [mm]ghg^{-1}.[/mm]
Da hast Du Dich vertan: es ist [mm] $\phi_g:G \to [/mm] G$
> Beweisen Sie, dass die Abbildung
> G [mm]\to[/mm] Bij(G,G), g [mm]\to[/mm] [mm]\phi_{g}[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist.
> Und zeigen Sie, dass im Falle G= [mm]S_{2}[/mm] diese Abbildung
> weder injektiv noch surjektiv ist.
> Bei Aufgabe 1 weiß ich nicht, wie ich da genau vorgehen
> soll. Also ich würde halt das versuchen mit dem
> Gruppenhomomorpdismus zu beweisen. Ich wäre sehr dankbar,
> wenn mir jemand helfen könnte.
Wir definieren die Abb. $T:G [mm] \to [/mm] Bij(G,G)$ durch $T(g):= [mm] \phi_g$
[/mm]
Du sollst nun zeigen: [mm] $T(g_1g_2)= T(g_1) \circ T(g_2)$ [/mm] für alle [mm] g_1,g_2 \in [/mm] G
Ich übersetze:
zeige: [mm] $\phi_{g_1g_2}= \phi_{g_1} \circ \phi_{g_2}$ [/mm] für alle [mm] g_1,g_2 \in [/mm] G
>
> Und bei Aufgabe 2 stehe ich total auf dem Schlauch.
Du sollst zeigen: im Speziafall [mm] $G=S_2$ [/mm] ist obiges T weder injektiv noch surjektiv.
FRED
>
> gruß
> I-Man
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 20.10.2010 | | Autor: | i-man |
Erstmals vielen Dank für die schnelle Antwort.
ok Aufgabe 1 habe ich verstanden, denn wenn man:
[mm] T(g_{1}g_{2}) [/mm] = [mm] (g_{1}g_{2}) [/mm] h [mm] (g_{1}g_{2})^{-1} [/mm] =
[mm] g_{1}g_{2} [/mm] h [mm] g_{2}^{-1}g_{1}^{-1} [/mm] = [mm] g_{1} T(g_{2}) g_{1}^{-1}
[/mm]
= [mm] T(T(g_{2})) [/mm] = da es eine Komposition ist folgt, = [mm] T(g_{1}) \circ T(g_{2})
[/mm]
(noch eine Frage: darf man in der 2. Zeile die Umformung vornehmen dass$ [mm] (g_{1}g_{2})^{-1} [/mm] $ = $ [mm] g_{2}^{-1}g_{1}^{-1} [/mm] $ , denn ich vertausche ja [mm] g_{1}^{-1} [/mm] mit [mm] g_{2}^{-1})
[/mm]
===> damit habe ich den Gruppenhomomorphismus bewiesen. Falls die Beweisrichtung stimmt
UNd bei Aufgabe 2 bin ich soweit, dass ich versucht habe die Injektivität zu zeigen, aber es klappt irgendwie nicht so ganz:
[mm] T(\partial_{1}) [/mm] = [mm] T(\partial_{2}) [/mm] => [mm] \partial_{1} [/mm] = [mm] \partial_{2}
[/mm]
also id (h) id = (12) h (12) weiter weiß ich auch nicht.
Gruß
I-Man
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erstmals vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> ok Aufgabe 1 habe ich verstanden, denn wenn man:
>
> [mm]T(g_{1}g_{2})[/mm] = [mm](g_{1}g_{2})[/mm] h [mm](g_{1}g_{2})^{-1}[/mm] =
>
> [mm]g_{1}g_{2}[/mm] h [mm]g_{2}^{-1}g_{1}^{-1}[/mm] = [mm]g_{1} T(g_{2}) g_{1}^{-1}[/mm]
>
> = [mm]T(T(g_{2}))[/mm] = da es eine Komposition ist folgt, =
> [mm]T(g_{1}) \circ T(g_{2})[/mm]
>
> (noch eine Frage: darf man in der 2. Zeile die Umformung
> vornehmen dass[mm] (g_{1}g_{2})^{-1}[/mm] = [mm]g_{2}^{-1}g_{1}^{-1}[/mm] ,
> denn ich vertausche ja [mm]g_{1}^{-1}[/mm] mit [mm]g_{2}^{-1})[/mm]
Ja
>
> ===> damit habe ich den Gruppenhomomorphismus bewiesen.
> Falls die Beweisrichtung stimmt
>
> UNd bei Aufgabe 2 bin ich soweit, dass ich versucht habe
> die Injektivität zu zeigen, aber es klappt irgendwie nicht
> so ganz:
Das wundert mich nicht ! Du sollst doch zeigen , dass T nicht injektiv ist
FRED
>
> [mm]T(\partial_{1})[/mm] = [mm]T(\partial_{2})[/mm] => [mm]\partial_{1}[/mm] =
> [mm]\partial_{2}[/mm]
>
> also id (h) id = (12) h (12) weiter weiß ich auch nicht.
>
> Gruß
> I-Man
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:37 Mi 20.10.2010 | | Autor: | i-man |
Danke für die Antwort,
also dann muss ich zeigen, dass $ [mm] \partial_{1} [/mm] $ [mm] \not= [/mm] $ [mm] \partial_{2} [/mm] $ ==> T($ [mm] \partial_{1} [/mm] $) = T($ [mm] \partial_{1} [/mm] $)
id [mm] \not= [/mm] (12) ==>
z.z id h id = (12) h (12) , wenn h = e dann steht nur noch id = id und dann stimmts, aber man kann doch nicht einfach h=e setzen und dann davon asugehen, dass das stimmt. Naja was man auch immer für h einsetzt kommt schließlich h=h raus und dann stimmts auch. Aber ob man das so hinschreiben kann.
I-Man
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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