Homomorphismen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Man finde alle Homomorphismen
(a) [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IZ \to \IZ
[/mm]
(b) [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IZ_{p} \to \IZ_{q} [/mm] mit p,q Primzahl
(c) [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IZ_{p^{m}} \to \IZ_{p^{n}} [/mm] |
Hi Leute
Wenn eine Abbildung ein Homom. sein soll muss doch nur gelten:
[mm] \alpha [/mm] (a+b) = [mm] \alpha(a) [/mm] + [mm] \alpha(b) [/mm]
Liege ich da richtig oder gibt es noch andere Bedingungen die Gelten müssen.
Bei der a haben ich ir gedacht. Wenn ich festlege wohin die 1 abgebildet wird habe ich schon die komplette Abbildung eindeutig bestimmt da die verknüpfung + ist
Nun sage ich [mm] \alpha(1) [/mm] = m [mm] \Rightarrow \alpha(x) [/mm] = xm
Jetzt betrachte ich [mm] \alpha(x+y)=(x+y)m=xm+ym=\alpha(x)+\alpha(y) [/mm] und daher ein Homom. Und dieses Gilt ja wür jedes beliebiges Element m auch die Null.
Liege ich da richtig ?
Bei der b und c bin ich noch nicht wirklich weiter gekommen wäre froh über Tipps
Gruß
Freak
|
|
| |
|
> Man finde alle Homomorphismen
> (a) [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IZ \to \IZ[/mm]
> (b) [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IZ_{p} \to \IZ_{q}[/mm]
> mit p,q Primzahl
> (c) [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IZ_{p^{m}} \to \IZ_{p^{n}}[/mm]
> Hi Leute
> Wenn eine Abbildung ein Homom. sein soll muss doch nur
> gelten:
>
> [mm]\alpha[/mm] (a+b) = [mm]\alpha(a)[/mm] + [mm]\alpha(b)[/mm]
>
> Liege ich da richtig oder gibt es noch andere Bedingungen
> die Gelten müssen.
>
> Bei der a haben ich ir gedacht. Wenn ich festlege wohin die
> 1 abgebildet wird habe ich schon die komplette Abbildung
> eindeutig bestimmt da die verknüpfung + ist
>
> Nun sage ich [mm]\alpha(1)[/mm] = m [mm]\Rightarrow \alpha(x)[/mm] = xm
> Jetzt betrachte ich
> [mm]\alpha(x+y)=(x+y)m=xm+ym=\alpha(x)+\alpha(y)[/mm] und daher ein
> Homom. Und dieses Gilt ja wür jedes beliebiges Element m
> auch die Null.
> liege ich das richtig.
Hallo,
ja das ist richtig.
>
> Bei der b und c bin ich noch nicht wirklich weiter gekommen
Ich verstehe es doch richtig, daß es in b und c um Restklassen mod p [mm] (q,p^m,p^n) [/mm] bzgl. der Addition geht?
Diese werden ja durch jeweils ein Element erzeugt, [mm] [1],\overline{1}, [/mm] oder wie auch immer Ihr es schreibt.
Der Homomophismus ist durch die Bilder des Erzeugedensystems eindeutig bestimmt, und in Deinem Fall ist das Erzeugendensystem klein.
Im Prinzip geht's wie a.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
