Homomorphiesatz - Aufgabe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $x, n [mm] \in \IZ$. [/mm] Zeigen Sie, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus [mm] $\phi: \IZ [/mm] / [mm] n\IZ \rightarrow \IZ [/mm] / [mm] n\IZ$ [/mm] gibt mit der Eigenschaft, dass das Diagramm
[mm] $$\begin{xy}
\xymatrix{
\IZ \ar[r]^{\cdot x} \ar[d]_{can} & \IZ \ar[d]^{can} \\
\IZ/n\IZ \ar[r]_{\phi} & \IZ/n\IZ
}
\end{xy}$$
[/mm]
(ok, funktioniert nicht so wie gehofft; oben steht links und rechts jeweils [mm] $\IZ$, [/mm] vermunden mit Pfeil, auf dem [mm] $\cdot [/mm] x$ steht. Von jedem [mm] $\IZ$ [/mm] geht jeweils ein Pfeil mit $can$ nach unten. Unten steht dann links und rechts jeweils [mm] $\IZ/n\IZ$, [/mm] wiederum verbunden mit Pfeil beschriftet mit [mm] $\phi$)
[/mm]
kommutiert. Zeigen Sie, dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Isomorphismus ist genau dann, wenn $ggT(x, n) = 1$ gilt. |
hier mal meine Ansaätze
[mm] $\IZ \to \IZ$ [/mm] mit diesem [mm] $\cdot [/mm] x$ ist intuitiv ein Gruppenhomomorphismus - muss ich das noch irgendwie beweisen, wenn ja, wie gehe ich da vor?
In der letzten Vorlesung haben wir als Satz aufgeschrieben, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist, hier mit Kern [mm] $n\IZ$.
[/mm]
Naja, und im letzten Schritt gibt es nach Homomorphiesatz ja genau einen Homomorphismus, so dass dieses Diagramm kommutiert.
Ich nehme mal an, das ist viiiiiiel zu einfach gedacht für diese Aufgabe - ich hab ja nix weiter gemacht als 2 Sätze der letzten Vorlesung hingeschrieben...
zum zweiten Teil:
zu zeigen: [mm] $\phi$ [/mm] Isomorphismus [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] ggt$(x, n) = 1$
Isomorphismus bedeutet ja biijektiver Homomorphismus.
Also ist [mm] $\phi$ [/mm] auch surjektiv,
d.h. es existiert $a [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $\phi(a+n\IZ) [/mm] = 1 + [mm] n\IZ [/mm] = [mm] ax+n\IZ \Leftrightarrow [/mm] a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $1=ax + bn [mm] \Leftrightarrow [/mm] ggT(x,n) = 1$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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