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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:37 Do 08.12.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | $X [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] heißt sternkonvex bezüglich [mm] $x_0 \in [/mm] X$, wenn für $x [mm] \in [/mm] X$ stets das die beiden Punkte verbindende Geradenstück auch in $X$ liegt.
Beweisen Sie, direkt ausgehend von der Definition des singulären Homologie (insbesondere ohne Anwendung des Homotopieaxioms), dass [mm] $H_0(X) \cong \IZ$ [/mm] und [mm] $H_p(X) \cong [/mm] 0$ für $p [mm] \not=0$. [/mm] |
Hallo,
der Fall $p=0$ ist klar, wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass die 0. Homologiegruppe eines zusammenhängenden Raums gerade [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
Mir macht der Fall $p [mm] \not=0$ [/mm] Schwierigkeiten:
Sei $q = [mm] \summe_{i=1}^k n_i \sigma_i \in C_p(X)$ [/mm] eine formale Summe von sigulären p-Simplizes [mm] $\sigma_1, \ldots, \sigma_k$ [/mm] mit [mm] $n_i \in \IZ$, [/mm] sodass $q$ ein Zykel ist, das heißt [mm] $\partial_p [/mm] q = 0$.
Zu zeigen ist, dass $q [mm] \in im\; \partial_{p+1}$, [/mm] das heißt, $a$ soll (p+1)-dim. Rand sein.
Ich konstruiere mir für alle [mm] $i\;$ [/mm] einen sigulären (p+1)-Simplex [mm] $\sigma'_i$ [/mm] mit [mm] $\sigma'_i(e_j) [/mm] = [mm] \sigma(e_j)$ [/mm] für $j [mm] \in \{0, \ldots, p\}$ [/mm] und [mm] $\sigma'_i(e_{p+1}) [/mm] = [mm] x_0$.
[/mm]
Ich konnte zeigen, dass [mm] $\sigma'_i$ [/mm] tatsächlich ein singulärer (p+1)-Simplex ist, d.h. dass [mm] $\sigma'_i$ [/mm] den Standard-(p+1)-Simplex [mm] $\{\summe_{i=0}^{p+1}\lambda_i e_i \;|\;0\leq \lambda_i \leq 1, \summe_{i=0}^{p+1}\lambda_i = 1\} [/mm] stetig nach [mm] $X\;$ [/mm] abbildet. Dazu habe ich die Sternkonvexität von [mm] $X\;$ [/mm] verwendet.
Jetzt möchte ist zeigen, dass [mm] $\partial_{p+1} \summe_{i=1}^k n_i \sigma'_i [/mm] = q$ ist, und daran scheitere ich. Es ist definiert [mm] $\partial_{p+1} \summe_{i=1}^k n_i \sigma'_i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^k n_i \partial_{p+1} \sigma'_i [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^k n_i \summe_{j=0}^{p+1} \sigma'_i \circ F_j$, [/mm] wobei die [mm] $F_j$ [/mm] die Seitenflächen meines Standardsimplex sind.
Weiß hier jemand, wie ich weiter kommen könnte?
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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