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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:01 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei V ein dreidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis S. Für x [mm] \in [/mm] V sei [mm] x_{s}=(x_{1},x_{2},x_{3}).
[/mm]
Es seien
[mm] p_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}
[/mm]
[mm] p_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{2}^{2}x_{3}^{2}+x_{3}^{2}
[/mm]
[mm] p_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}-2x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}
[/mm]
Die Niveauflächen welcher dieser Polynome sind homogene Quadriken? |
Hallo 
Komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter, da ich leider nicht weiss, was homogene Quadriken überhaupt sind? Die Internetrecherche hat leider auch überhaupt nichts ergeben... :-(
LG,
Topologe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Fr 31.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Topologe |
Danke für die Antwort
Auf einer anderen Seite habe ich gerade folgendes gefunden:
Eine Quadrik Q hat die Form Q = [mm] x^{T}Ax+2b^{T}x+c=0.
[/mm]
Die homogene Form lautet: Q : [mm] \overline{x^{T}}\overline{A}\overline{x} [/mm] = 0
[mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \pmat{ c & b^{T} \\ b & A } [/mm] und [mm] \overline{x^{T}} [/mm] = [mm] (1,x_{1},...,x_{n})
[/mm]
Zu [mm] p_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}):
[/mm]
Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }, [/mm] b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und c=0
[mm] \Rightarrow \vektor{1 \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}^{T} [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] p_{1} (x_{1},x_{2},x_{3})
[/mm]
Also homogene Quadrik
Mit [mm] p_{3} [/mm] könnte man dies analog machen. Nur bei [mm] p_{2} [/mm] scheint dies nicht zu klappen.
Ist das so in etwa ok, oder bin ich total auf dem falschen Dampfer?
Gruß,
Topologe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Fr 31.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Topologe |
Super, danke
Gruß
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