Homogene Lösung < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Idefix08 |
| Aufgabe | y[k]+2y[k-1]-y[k-2] = x[k]-2x[k-1]
y[0]=y[1]=1 |
Hallo,
bei der homogenen Lösung werden die Eingangssignale zu Null, also:
y[k]+2y[k-1]-y[k-2] = 0
Nach der z-Transformation:
Y(z)+ [mm] 2Y(z)*z^{-1}-Y(z)*z^{-2}=0
[/mm]
Bloß was mache ich jetzt mit dem y[0]=y[1]=1
Muss ich es noch dazu addieren???
Y(z)+ [mm] 2Y(z)*z^{-1}-Y(z)*z^{-2} [/mm] +Y(0)+Y(1) =0
Gruß
Idefix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Idefix,
mache Dir erst mal klar, dass Du bei Deiner Differenzengleichung eine Randbedingung einzuhalten hast, um die Lösung eindeutig zu machen. Genau das ist auch im z-Bereich nötig und jetzt stellt sich aber die Frage, wie Du solche einzelnen Funktionswerte mithilfe der z-Transformierten, die sich ja immer auf eine ganze Wertereihe bezieht (das wird leider häufig vergessen) darstellen kannst. Wenn Du Dir die Definition der z-Transformierten anschaust
[mm] F(z) = f(0) + f(1) z^{-1} + f(2) z^{-2} + \dots [/mm]
so kannst Du in dieser Reihe f(0) berechnen, indem Du z gegen Unendlich laufen lässt. Alle Terme, bis auf f(0), laufen dann gegen Null. Das ist doch schon mal gut, denn so bekommst Du
[mm] f(0) = \lim_{ z \rightarrow \infty} F(z) [/mm]
Wenn Du das Ganze für f(1) machen willst, so nimm die obige Gleichung mal z und Du bekommst auf gleiche Weise
[mm] f(1) = \lim_{ z \rightarrow \infty} z\left[ F(z)-f(0) \right] [/mm]
So drückst Du Deine Randbedingung in Form der z-Transformierten aus.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Di 21.09.2010 | | Autor: | Idefix08 |
Hallo,
vielen Dank erstmal!
Das hab ich so weit verstanden, nur wie setze ich das dann jetzt in die Gleichung ein?
Kann ich nicht auch so vorgehen:
Ich ersetze k mit k+2
y[k]+2y[k-1]-y[k-2] = 0
=> y[k+2]+2y[k+1]-y[k] = 0
und transformiere es dann...
Y(z)*z²-X(0)z²-Y(1)z + 2*[Y(z)z-Y(0)z] - Y(z) = 0
Gruß
Idefix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo idefix,
es gibt hier nichts einzusetzen. Das Ganze ist eine Randbedingung, die Du in dieser etwas anderen Form schreibst. Bei einer DGL im Zeitbereich schreibst Du ja auch nicht die Randbedingung in die Gleichung mit rein, sondern sie dient dazu, die Menge der Lösungen an diese Randbedingung anzupassen.
Viele Grüße,
Infinit
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