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Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei einer Frage helfen:
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ und $B$ zwei Linksmoduln über $R$ (mal eine Frage zwischendurch: Sind $A$ und $B$ durch die Kommutativität von $R$ schon 'beidseitige' Moduln?).
Dann wird ja [mm] $Hom_R(A,B)$ [/mm] zu einem $R$-(Links?)-Modul.
- Sehe ich das richtig, dass [mm] $Hom_{Ab}(C,D)$, [/mm] also die Menge der Homomorphismen von abenschen Gruppen $C$ und $D$ isomorph ist zu [mm] $Hom_{Z}(C,D)$, [/mm] da man jede abelsche Gruppe als einen $Z$-Modul auffassen kann? ($Z$ sei hier die Menge der ganzen Zahlen, ich bekomme das mit dem Symbol nicht hin)
- Zum konkreten Ausrechnen. Ich habe einmal gelesen, daß für jedes Ideal [mm] $I\subset [/mm] R$ gilt, daß [mm] $Hom_R(R/I,D)\cong\{d\in D| Id=0\}$. [/mm] Wieso ist das so? Und soll das bedeuten [mm] $\{d\in D| id=0 ~\forall i\in I\}$ [/mm] oder [mm] $\{d\in D| id=0 \mbox{ für EIN } i\in I\}$?
[/mm]
Ist zum Beispiel [mm] $Hom_Z(Z/4Z,Z/2Z)$ [/mm] auszurechnen, ist das nach dem, was ich gehört habe [mm] $\{a\in Z/Z2| 4Z*a=0\}$. [/mm] Wird diese Menge jetzt als Teilmenge von $Z$ betrachtet (also ist sie isomorph zu $0$) oder als Teilmenge von $Z/2Z$ (und für EIN [mm] $i\in [/mm] 4Z$ oder für alle)?
Über eine Antwort würde ich mich freuen!
Herzliche Gruesse und dankeschoen!
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Grüße!
> Vielleicht kann mir jemand bei einer Frage helfen:
> Es sei [mm]R[/mm] ein kommutativer Ring und [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwei
> Linksmoduln über [mm]R[/mm] (mal eine Frage zwischendurch: Sind [mm]A[/mm]
> und [mm]B[/mm] durch die Kommutativität von [mm]R[/mm] schon 'beidseitige'
> Moduln?).
Das ist ein wenig Definitionsfrage... im Normalfall muss man bei komm. Ringen nicht zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden. Es hängt aber auch davon ab, was ihr unter "Modul" versteht: ist das bei euch eine abelsche Gruppe mit "Skalarmultiplikation" mit Elementen eines Ringes, also eine Art "Vektorraum über einem Ring"? Oder ist es ein "Ring über einem Ring"? Bei beiden Konstruktionen ist der Begriff "Modul" gebräuchlich und bei letzterer spielt es eben eine Rolle, ob beide Ringe kommutativ sind...
> Dann wird ja [mm]Hom_R(A,B)[/mm] zu einem [mm]R[/mm]-(Links?)-Modul.
>
> - Sehe ich das richtig, dass [mm]Hom_{Ab}(C,D)[/mm], also die Menge
> der Homomorphismen von abenschen Gruppen [mm]C[/mm] und [mm]D[/mm] isomorph
> ist zu [mm]Hom_{Z}(C,D)[/mm], da man jede abelsche Gruppe als einen
> [mm]Z[/mm]-Modul auffassen kann? ([mm]Z[/mm] sei hier die Menge der ganzen
> Zahlen, ich bekomme das mit dem Symbol nicht hin)
Müßte hinkommen... Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] ein Hom. von abelschen Gruppen $C$ und $D$ ist, dann folgt automatisch für jedes $z [mm] \in \IZ$:
[/mm]
[mm] $\varphi(z \cdot [/mm] c) = z [mm] \dot \varphi(c)$, [/mm] wenn $z [mm] \cdot [/mm] c$ für positives $z$ definiert ist als [mm] $\sum_{i=1}^z [/mm] c$. (Für neg. $z$ entsprechend als Summe der additiven Inversen.)
Umgekehrt ist natürlich jeder Hom. von [mm] $\IZ$-Moduln [/mm] auch ein Hom. von abelschen Gruppen, man kann ja die Modul-Struktur vergessen.
Kurz gesagt: die Kategorien sind äquivalent. :)
> - Zum konkreten Ausrechnen. Ich habe einmal gelesen, daß
> für jedes Ideal [mm]I\subset R[/mm] gilt, daß
> [mm]Hom_R(R/I,D)\cong\{d\in D| Id=0\}[/mm]. Wieso ist das so? Und
> soll das bedeuten [mm]\{d\in D| id=0 ~\forall i\in I\}[/mm] oder
> [mm]\{d\in D| id=0 \mbox{ für EIN } i\in I\}[/mm]?
Letzteres zuerst: natürlich ist [mm] $\{ d \in D : Id = 0 \} [/mm] = [mm] \{ d \in D : id = 0 \; \forall \; i \in I \}$, [/mm] denn $Id = [mm] \{ id : i \in I \}$.
[/mm]
Um die Gleichheit zu beweisen: nimm an, Du hast einen Homomorphismus von $R$-Moduln [mm] $\varphi: [/mm] R / I [mm] \to [/mm] D$. Betrachte dann die Restklasse der 1 in $R/I$ und ihr Bild [mm] $\varphi(\overline{1}) [/mm] = d$. Für $i [mm] \in [/mm] I$ folgt dann:
$id = i [mm] \varphi(\overline{1}) [/mm] = [mm] \varphi(\overline{i}) [/mm] = [mm] \varphi(\overline{0}) [/mm] = 0$
Mit [mm] $\overline{r}$ [/mm] bezeichne ich übrigens einfach die von $r [mm] \in [/mm] R$ repräsentierte Restklasse in $R/I$, also das Bild unter dem kanonischen Epimorphismus.
Umgekehrt: gegeben ein $d [mm] \in [/mm] D$ mit $id = 0$ für jedes $i [mm] \in [/mm] I$, dann definiere eine Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : R / I [mm] \to [/mm] D$ durch [mm] $\varphi(\overline{r}) [/mm] := rd$. Die Wohldefiniertheit der Abbildung folgt aus $id = 0$ für alle $i [mm] \in [/mm] I$ (Nachrechnen!) und dass es ein Hom. von $R$-Moduln ist, sieht man quasi auch sofort. :)
> Ist zum Beispiel
> [mm]Hom_Z(Z/4Z,Z/2Z)[/mm] auszurechnen, ist das nach dem, was ich
> gehört habe [mm]\{a\in Z/Z2| 4Z*a=0\}[/mm]. Wird diese Menge jetzt
> als Teilmenge von [mm]Z[/mm] betrachtet (also ist sie isomorph zu [mm]0[/mm])
> oder als Teilmenge von [mm]Z/2Z[/mm] (und für EIN [mm]i\in 4Z[/mm] oder für
> alle)?
Als Teilmenge von [mm] $\IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ$, [/mm] indem Fall der ganze Ring, weil $4 [mm] \IZ \cdot [/mm] a = 0$ für jedes $a [mm] \in \IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ$ [/mm] gilt. :) Und Du kennst die Homomorphismen jetzt auch: das eine ist der Nullmorphismus und das andere ist die Faktorisierung von [mm] $\IZ [/mm] / 4 [mm] \IZ$ [/mm] nach dem Bild von $2 [mm] \IZ$ [/mm] - man muss nur schauen, wo die 1 hingeht - mal auf 0, mal auf 1. :)
Alles klar? Wenn nicht, einfach nachfragen. :)
Lars
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mo 22.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lars! (Und hallo hallo  )
Eine sehr aehnliche Frage hat hallo12345 hier schon gestellt,
> unterscheiden. Es hängt aber auch davon ab, was ihr unter
> "Modul" versteht: ist das bei euch eine abelsche Gruppe mit
> "Skalarmultiplikation" mit Elementen eines Ringes, also
> eine Art "Vektorraum über einem Ring"? Oder ist es ein
> "Ring über einem Ring"? Bei beiden Konstruktionen ist der
> Begriff "Modul" gebräuchlich und bei letzterer spielt es
> eben eine Rolle, ob beide Ringe kommutativ sind...
Ein Ring $S$ ueber einem anderen Ring $R$ ist ein Ringmorphismus $R [mm] \to [/mm] S$ und durch diesen wird $S$ zu einem $R$-Modul. Dies ist exakt der ganz normale $R$-Modul-Begriff und kein anderer Begriff...
> > - Sehe ich das richtig, dass [mm]Hom_{Ab}(C,D)[/mm], also die Menge
> > der Homomorphismen von abenschen Gruppen [mm]C[/mm] und [mm]D[/mm] isomorph
> > ist zu [mm]Hom_{Z}(C,D)[/mm], da man jede abelsche Gruppe als einen
> > [mm]Z[/mm]-Modul auffassen kann? ([mm]Z[/mm] sei hier die Menge der ganzen
> > Zahlen, ich bekomme das mit dem Symbol nicht hin)
Das Symbol wird \IZ geschrieben. Ausserdem gibts das unten zum Anklicken.
> Kurz gesagt: die Kategorien sind äquivalent. :)
Sie sind sogar isomorph. Aequivalenz ist ja ein recht schwacher Begriff im Vergleich zu Isomorphie
> > - Zum konkreten Ausrechnen. Ich habe einmal gelesen, daß
> > für jedes Ideal [mm]I\subset R[/mm] gilt, daß
> > [mm]Hom_R(R/I,D)\cong\{d\in D| Id=0\}[/mm]. Wieso ist das so? Und
> > soll das bedeuten [mm]\{d\in D| id=0 ~\forall i\in I\}[/mm] oder
> > [mm]\{d\in D| id=0 \mbox{ für EIN } i\in I\}[/mm]?
Ich frage mich, warum hallo12345 das nochmal fragt. Den Beweis dafuer hatten wir ja schon (oder hat er damals nicht verstanden was mit $I [mm] \cdot [/mm] d = 0$ gemeint ist?)...
> > Ist zum Beispiel
> > [mm]Hom_Z(Z/4Z,Z/2Z)[/mm] auszurechnen, ist das nach dem, was ich
> > gehört habe [mm]\{a\in Z/Z2| 4Z*a=0\}[/mm]. Wird diese Menge jetzt
> > als Teilmenge von [mm]Z[/mm] betrachtet (also ist sie isomorph zu [mm]0[/mm])
> > oder als Teilmenge von [mm]Z/2Z[/mm] (und für EIN [mm]i\in 4Z[/mm] oder für
> > alle)?
>
> Als Teilmenge von [mm]\IZ / 2 \IZ[/mm], indem Fall der ganze Ring,
> weil [mm]4 \IZ \cdot a = 0[/mm] für jedes [mm]a \in \IZ / 2 \IZ[/mm] gilt. :)
Vorsicht! Hier wird der [mm] $\IZ$-Modul $Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ)$ [/mm] betrachtet!
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 25.05.2006 | | Autor: | hallo12345 |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
"Ich frage mich, warum hallo12345 das nochmal fragt. Den Beweis dafuer hatten wir ja schon (oder hat er damals nicht verstanden was mit $ I [mm] \cdot [/mm] d = 0 $ gemeint ist?)... "
Den alten Artikel hätte ich zitieren sollen. Tut mir Leid. Ja, genau das war das Problem.
Herzliche Gruesse!
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Hallo nocheinmal!
"> Als Teilmenge von $ [mm] \IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ [/mm] $, indem Fall der ganze Ring,
> weil $ 4 [mm] \IZ \cdot [/mm] a = 0 $ für jedes $ a [mm] \in \IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ [/mm] $ gilt. :)
Vorsicht! Hier wird der $ [mm] \IZ [/mm] $-Modul $ [mm] Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ) [/mm] $ betrachtet!"
Wie darf ich das jetzt verstehen? Das "Vorsicht" verwirrt mich etwas: Gilt [mm] $Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ)\cong \IZ/2\IZ$ [/mm] oder [mm] $Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ)\cong \IZ$?
[/mm]
Dankeschön!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo hallo!
> "> Als Teilmenge von [mm]\IZ / 2 \IZ [/mm], indem Fall der ganze
> Ring,
> > weil [mm]4 \IZ \cdot a = 0[/mm] für jedes [mm]a \in \IZ / 2 \IZ[/mm] gilt.
> :)
>
> Vorsicht! Hier wird der [mm]\IZ [/mm]-Modul [mm]Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ)[/mm]
> betrachtet!"
Mmmh, jetzt wo ich mir das nochmal durchlese: Ignorier meinen Kommentar einfach! 
> Wie darf ich das jetzt verstehen? Das "Vorsicht" verwirrt
> mich etwas: Gilt [mm]Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ)\cong \IZ/2\IZ[/mm]
> oder [mm]Hom_\IZ(\IZ/4\IZ, \IZ/2\IZ)\cong \IZ[/mm]?
Es gilt ersteres.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Do 25.05.2006 | | Autor: | hallo12345 |
Danke!
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