Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Di 31.01.2012 | | Autor: | Mya |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Holomorphie in [mm] \IC [/mm] durch Auswerten des
komplexen Differenzenquotienten.
|z| |
die Dreiecksungleichung gilt auch in der komplexen Analysis, so dass
|z1+z2| =< |z1|+|z2| gilt. Darf man dann ohne weiteres einfach
|z1+z2| = |z1|+|z2| benutzen?
Es sei die Funktion f(z)=|z| gegeben. Man untersuche diese auf Holomorphie durch Auswertung des komplexen Differenzenquotienten
[mm] \limes_{z\rightarrow\ z0}\bruch{f(z)-f(z0)}{z-z0}, [/mm] also wenn der Limes existiert. Durch einsetzen
[mm] \Rightarrow \limes_{z\rightarrow\ z0}\bruch{|z|-|z0|}{z-z0}
[/mm]
Man setze nun z-z0= h mit [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}, [/mm] so folgt
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h}, [/mm] kann ich nun in diesen Schritt einfach |z0+h| = |z0|+|h| benutzen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 31.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Holomorphie in [mm]\IC[/mm]
> durch Auswerten des
> komplexen Differenzenquotienten.
> |z|
> die Dreiecksungleichung gilt auch in der komplexen
> Analysis, so dass
> |z1+z2| =< |z1|+|z2| gilt. Darf man dann ohne weiteres
> einfach
> |z1+z2| = |z1|+|z2| benutzen?
Natürlich nicht ! Wenn das so wäre, so würde alle Welt von der "Dreiecksgleichung" sprechen und nicht von der "Dreiecksungleichung"
Überprüfe mal , ob [mm] $|z_1+z_2| [/mm] = [mm] |z_1|+|z_2| [/mm] $ für [mm] z_1=1 [/mm] und [mm] z_2=i [/mm] richtig ist. Du wirst sehen, es ist nicht richtig.
> Es sei die Funktion f(z)=|z| gegeben. Man untersuche diese
> auf Holomorphie durch Auswertung des komplexen
> Differenzenquotienten
> [mm]\limes_{z\rightarrow\ z0}\bruch{f(z)-f(z0)}{z-z0},[/mm] also
> wenn der Limes existiert. Durch einsetzen
> [mm]\Rightarrow \limes_{z\rightarrow\ z0}\bruch{|z|-|z0|}{z-z0}[/mm]
>
> Man setze nun z-z0= h mit [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0},[/mm] so
> folgt
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h},[/mm] kann ich
> nun in diesen Schritt einfach |z0+h| = |z0|+|h| benutzen?
Nein. s.o.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Di 31.01.2012 | | Autor: | Mya |
Wie sollte ich dann weiter vorgehen, wenn nicht so, wie soll ich dann den Qutienten berechnen, wenn nur Beträge im Zähler stehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 31.01.2012 | | Autor: | fred97 |
1. Für [mm] z_0=0 [/mm] ist es einfach zu sehen, dass f in [mm] z_0 [/mm] nicht komplex differenzierbar ist.
2. Sei [mm] z_0 \ne [/mm] 0.
Nimm an, f wäre in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar. Dann müßte gelten
[mm] \limes_{t \rightarrow 0, t \in \IR}\bruch{f(z_0+t)-f(z_0)}{t}= \limes_{t \rightarrow 0, t \in \IR}\bruch{f(z_0+it)-f(z_0)}{it}.
[/mm]
Zeige, dass dem nicht so ist.
Hinweis: verwende [mm] $|w|^2= w*\overline{w}$ [/mm] für w [mm] \in \IC.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Mya |
Also dein Hinweis habe ich nicht so verstanden, habe aber den anderen Teil verwenden können, so dass ich folgendes gemacht habe
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-z0}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+ih|-z0}{ih}
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-z0}{h} -\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+ih|-z0}{ih}= [/mm] 0
[mm] \gdw \limes_{h\rightarrow\ 0}(\bruch{|z0+h|-z0}{h}-\bruch{|z0+ih|-z0}{ih})= [/mm] 0
nun multipliziere ich mit ih
[mm] \Rightarrow \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] i(|z0+h|-z0)- |z0+ih|+z0=0
dann werte ich [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] aus
[mm] \Rightarrow [/mm] (i-1)(|z0|-z0)=O
[mm] i-1\not=0, [/mm] dann müßte |z0|-z0=O, dies gilt nur für z0>0
ist das nun damit gezeigt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Mya |
oder trage ich einfach für [mm] |z0|=\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] und z0=a+ib einfach ein, setzte das gleich null und bekomme dann einen Widerspruch raus, kann ich auch so vorgehen? Oder anders, ist das vielleicht der bessere Weg?
Also
|z0|- z0=0 mit [mm] |z0|=\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] und z0=a+ib
[mm] \Rightarrow \wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] - (a+ib)=O
[mm] \gdw \wurzel{a^{2}+b^{2}}= [/mm] a+ib nun quadrieren
[mm] \Rightarrow a^{2}+b^{2}= a^{2}- b^{2}+ [/mm] 2iab
[mm] \Rightarrow 2b^{2}= [/mm] 2iab teilen durch 2b
[mm] \Rightarrow [/mm] b = ia [mm] \Rightarrow [/mm] Widersruch,
oder besser mit [mm] |z0|=\wurzel{z0*\overline{z0}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel{z0*\overline{z0}} [/mm] - z0=0
[mm] \gdw \wurzel{z0*\overline{z0}}= [/mm] z0 nun quadrieren
[mm] \Rightarrow z0*\overline{z0}=z0^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z0(\overline{z0}- [/mm] z0) =0
da z0 [mm] \not=0 [/mm] nach Voraussetzung
[mm] \Rightarrow \overline{z0}- [/mm] z0 =0
[mm] \Rightarrow [/mm] -2ib =0 das gilt nur wenn b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
[mm] \Rightarrow|z| [/mm] nicht komplex differenzierbar
Welcher Weg ist der bessere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 01.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> oder trage ich einfach für [mm]|z0|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] und
> z0=a+ib einfach ein, setzte das gleich null und bekomme
> dann einen Widerspruch raus, kann ich auch so vorgehen?
> Oder anders, ist das vielleicht der bessere Weg?
> Also
> |z0|- z0=0 mit [mm]|z0|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] und z0=a+ib
> [mm]\Rightarrow \wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] - (a+ib)=O
> [mm]\gdw \wurzel{a^{2}+b^{2}}=[/mm] a+ib nun quadrieren
> [mm]\Rightarrow a^{2}+b^{2}= a^{2}- b^{2}+[/mm] 2iab
> [mm]\Rightarrow 2b^{2}=[/mm] 2iab teilen durch 2b
> [mm]\Rightarrow[/mm] b = ia [mm]\Rightarrow[/mm] Widersruch,
> oder besser mit [mm]|z0|=\wurzel{z0*\overline{z0}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \wurzel{z0*\overline{z0}}[/mm] - z0=0
> [mm]\gdw \wurzel{z0*\overline{z0}}=[/mm] z0 nun quadrieren
> [mm]\Rightarrow z0*\overline{z0}=z0^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow z0(\overline{z0}-[/mm]
> z0) =0
> da z0 [mm]\not=0[/mm] nach Voraussetzung
> [mm]\Rightarrow \overline{z0}-[/mm] z0 =0
> [mm]\Rightarrow[/mm] -2ib =0 das gilt nur wenn b=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> Widerspruch
> [mm]\Rightarrow|z|[/mm] nicht komplex differenzierbar
> Welcher Weg ist der bessere?
>
Das führt zu nichts !
Warum machst Du denn nicht, was ich Dir gesagt habe ?
Berechne
$ [mm] \limes_{t \rightarrow 0, t \in \IR}\bruch{f(z_0+t)-f(z_0)}{t}$ [/mm] und $ [mm] \limes_{t \rightarrow 0, t \in \IR}\bruch{f(z_0+it)-f(z_0)}{it}. [/mm] $
Und zeige , dass diese GWe verschieden sind.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Mya |
Wie soll man denn
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+ih|-|z0|}{ih} [/mm] berechnen? Einzeln, aber im Zähler steht doch
|z0+h|-|z0|, ich verstehe nicht, wie oder was ich machen soll, zudem habe ich gerade gemerkt, dass ich einen echt großen Fehler gemacht habe, denn es muss ja heißen [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h}, [/mm] ich habe aber [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-z0}{h} [/mm] verwendet... nun zur Aufgabe, ich kann doch gar nichts berechnen, weil ich dort Beträge stehen habe, ich schau mir die Aufgabe ja genau an, aber mit [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h} [/mm] kann ich doch gar keine Umformung machen, ich könnte das ganze quadrieren, aber komme ich denn so auf das Ergebnis???? ich weiß ja, dass es nicht komplex differenzierbar ist, aber wie zeige ich das??? Bitte um Hilfe, ich komme echt nicht mehr weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mya,
> Wie soll man denn
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+ih|-|z0|}{ih}[/mm]
> berechnen? Einzeln, aber im Zähler steht doch
> |z0+h|-|z0|, ich verstehe nicht, wie oder was ich machen
> soll, zudem habe ich gerade gemerkt, dass ich einen echt
> großen Fehler gemacht habe, denn es muss ja heißen
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h},[/mm] ich habe
> aber [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-z0}{h}[/mm]
> verwendet... nun zur Aufgabe, ich kann doch gar nichts
> berechnen, weil ich dort Beträge stehen habe, ich schau
> mir die Aufgabe ja genau an, aber mit [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{|z0+h|-|z0|}{h}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> kann ich doch gar keine Umformung machen, ich könnte das
> ganze quadrieren, aber komme ich denn so auf das
> Ergebnis???? ich weiß ja, dass es nicht komplex
> differenzierbar ist,
Du weißt das erst, wenn Du es auch beweisen kannst. Bis dahin glaubst oder vemutest Du es, mehr aber auch nicht (meinetwegen hast Du auch die passende "Intuition").
> aber wie zeige ich das??? Bitte um
> Hilfe, ich komme echt nicht mehr weiter...
Indem Du so vorgehst, wie Fred es gesagt hat:
Oder Du schlägst den Begriff "Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichung" nach! (Das ganze beruht aber genau auf dem Prinzip, was Fred vorgeschlagen hat!)
Aber ich mach' Dir mal das vor, was Fred gemeint hat: Betrachten wir mal speziell die Stelle $z_0=1+i\,.$
Wenn $f(z)=|z|\,$ an $z_0=1+i$ komplex differenzierbar wäre, so würde
$$g:=\lim_{\IC \ni w \to 0}(f(z_0+w)-f(z_0))/w$$
existieren. Insbesondere würden dann
$$g_1:=\lim_{\IR \ni h \to 0}(f(1+i+h)-f(1+i))/h$$
und
$$g_2:=\lim_{\IR \ni h \to 0}(f(1+i+ih)-f(1+i))/(ih)$$
existieren und es müßte $g_1=g=g_2$ gelten.
(Beachte: Dass $g\,$ existiert, bedeutet, dass für jede Folge $(w_n)_n$ mit $w_n \in \IC$ und $0 \not=w_n \to 0$ auch $\lim_{n \to \infty}(f(z_0+w_n)-f(z_0))/w_n$ existiert (und für jede solche Folge kommt dann schon "automatisch" "der gleiche Grenzwert $g\,$ heraus"). Im Grunde genommen ist das eine sehr starke Aussage, denn Du kannst ja im $\IR^2$ "auf vielen 'krummlinigen Wegen' zur $0\,$ hinlaufen").
Klar ist, dass man "bei $g_1$ quasi entlang der reellen Achse auf die $0 \in \IC$ zuläuft". Was die Notation $g_2$ ein wenig versteckt: Dort läuft man auf der imaginären Achse "auf die $0 \in \IC$ zu":
Beachte nämlich: $i*\IR \ni z \to 0$ gilt genau dann, wenn $z=h*i$ mit $\IR \ni h \to 0\,.$
Damit es ein wenig "konsistenter zur Grenzwertdefinition ist", kann man $g_2$ auch erstmal so schreiben
$$g_2:=\lim_{i*\IR \ni w \to 0}\frac{f(z_0+w)-f(z_0)}{w}\,,$$
was man dann halt mit $w=i*h$ mit $\IR \ni h \to 0$ umschreibt zu
$$g_2=\lim_{\IR \ni h \to 0}\frac{f(z_0+i*h)-f(z_0)}{i*h}\,.$$
Zu $g_1\,:$
Sei $0 \not=h \in \IR\,,$ dann
$$\frac{|1+i+h|-|1+i|}{h}=\frac{\sqrt{(1+h+i)*(1+h-i)}-\sqrt{(1+i)(1-i)}}{h}=\frac{\sqrt{(1+h)^2+1^1}-\sqrt{(1^2+1^2)}}{h}=\frac{\sqrt{h^2+2h+2}-\sqrt{2}}{h}*\frac{\sqrt{h^2+2h+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{h^2+2h+2}+\sqrt{2}}=\ldots\,$$
rechne mit 3er binomischer Formel im Zähler weiter, fasse zusammen (irgendwo wirst Du $2-2=0\,$ "sehen"), kürze $h\,$ wo's geht, dann schau', was bei $h \to 0$ passiert.
Bei $g_2\,$:
Rechne es mal analog.
Dann hast Du sicher erstmal ein Ergebnis für dieses spezielle $z_0=1+i\,.$
Allgemeiner:
Schreibe halt $z_0=x_0+i*y_0$ mit gewissen $x_0,y_0 \in \IR\,.$ Dann versuch' die obige Methodik in vollkommener Analogie zu übertragen!
"Ganz allgemein" (und das läuft schon in Richtung Cauchy-Riemannsche-DGL):
Für eine Funktion $f: \IC \to \IC$ schreibe
$$1.)\;\;\; z=(x,y)=x+i*y$$
mit $x,y \in \IR$ (Real- bzw. Imaginärteil von $z\,$) sowie unter Verwendung von 1.) sodann
$$2.)\;\;\;f(z)=u(z)+i*v(z)=u(x,y)+i*v(x,y)\,,$$
also "zerlege ich $f(z) \in \IC$ jeweils in Real- und Imaginärteil". Dann kannst Du $f: \IC \to \IC$ auffassen als eine Funktion
$$f: \IR^2 \to \IR^2$$
mit der Identifizierung $z=(x,y)^T \in \IR^2$ und $f(z)=(u(z),v(z))^T$ bzw.
$$f(\vektor{x\\y})=\vektor{u(x,y)\\v(x,y)}\,.$$
Dann denke mal drüber nach, was (mit $f\,$ im Sinne der $\IR^2 \to \IR^2$-Funktion) $g_1$ oben mit
$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{z_0=1+i}\;\;\text{ bzw. }\left.\frac{\partial v}{\partial x}\right|_{z_0=1+i}$$
und was $g_2$ mit
$$\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{z_0=1+i}\;\;\text{ bzw. }\left.\frac{\partial v}{\partial y}\right|_{z_0=1+i}$$
zu tun haben.
Aber soweit brauchst Du das nicht notwendigerweise machen - nur, falls es Dich interessiert!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Mya |
Ich danke schon mal für die Antwort, ich werde es nun gleich versuchen, hatte vorhin mal so angefangen, dachte aber, das führt auch zu nichts. ich danke dir und Fred, dass ihr mir so schnell geantwortet habt und ihr mir schon mal geholfen habt, zumindest weiß ich, was zu tun ist
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