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| Aufgabe | Bestimmen Sie ein Gebit [mm] \Omega \supseteq [/mm] D(0,1) mit den folgenden Eigenschaften:
In [mm] \Omega [/mm] existiert eine holomorfe Quadratwurze g von [mm] \bruch{1}{1-z^2}, [/mm] die eine Stammfunktion G in [mm] \Omega [/mm] besitzt.
Zeige weiterhin, dass man die Quadratwurzel g und ihre Stammfunktion G so wählen kann, dass G eine analytische Verlängerung von f ist, mit cos(G(z))=z für alle z [mm] \in \Omega. [/mm] |
Hi,
Also könnte man [mm] \Omega=\IC [/mm] \ [mm] \{z | |z|\ge1 \} [/mm] so wählen mit g(z)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-z^2}}??? [/mm] Denn jetzt existiert in [mm] \Omega [/mm] ja dieses g und darüber hinaus auch eine Stammfunktion G(z) mit G(z)=arcsin(z). Aber reicht das schon aus als Begründung, oder müsste man da noch was hinschreiben???
Aber den zweiten Teil, da weiß ich ehrlich gesagt noch nicht, wie ich den anpacken kann, kann mir da vielleicht jemand helfen? Weil ich weiß auch nicht, [mm] cos(arcsin(z))=\wurzel{1-z^2}\not=z. [/mm] Und die andere Sache zu dem f, wird nicht viel gesagt. Nur der Teilaufgabe vorher: Benutze das Theorem über die Inverse um die Existenz einer Kreisscheibe D(0,r) und einer Funktion f [mm] \in [/mm] H(D(0,r)) mit cos(f(z))=z, für alle z [mm] \in [/mm] D(0,r) und [mm] f(0)=\pi/2, [/mm] zu zeigen.
Hilfe wäre super nett.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 22.06.2009 | | Autor: | jaruleking |
Hat hier wirklich keiner eine Idee??
Wäre über Hilfe echt dankbar.
Grüße
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[mm]\Omega[/mm] sei das Gebiet aller komplexen Zahlen [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] mit [mm]x,y[/mm] reell und [mm]x^2 - y^2 < 1[/mm]. Damit ist [mm]\Omega[/mm] diejenige durch die Hyperbel [mm]x^2 - y^2 = 1[/mm] bestimmte Zusammenhangskomponente von [mm]\mathbb{C}[/mm], die den Einheitskreis enthält.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für [mm]z \in \Omega[/mm] gilt: [mm]\Re (z^2) = x^2 - y^2 < 1[/mm], also [mm]\Re (1 - z^2) > 0[/mm]. Da die Kehrwertfunktion die rechte Halbebene auf sich abbildet, folgt weiter:
[mm]\Re \left( \frac{1}{1 - z^2} \right) > 0[/mm]
Definiert man nun [mm]\sqrt{w}[/mm] als denjenigen Zweig der Wurzel, für den [mm]\Re ( \sqrt{w} ) < 0[/mm] gilt, so ist durch
[mm]g(z) = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \ \ \mbox{für} \ z \in \Omega[/mm]
eine wohldefinierte holomorphe Funktion gegeben. Vorsicht! Es gilt gemäß der Wahl des Zweiges der Wurzel z.B. [mm]g(0) = -1[/mm].
Da [mm]\Omega[/mm] einfach zusammenhängend (ja sogar sternförmig) ist, besitzt [mm]g[/mm] eine Stammfunktion [mm]G[/mm], etwa
[mm]G(z) = \frac{\pi}{2} + \int_0^z \frac{\mathrm{d}\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \ \ \mbox{für} \ z \in \Omega[/mm]
Hierbei ist über irgendeinen [mm]0[/mm] und [mm]z[/mm] verbindenden Weg zu integrieren. Da [mm]\Omega[/mm] sternförmig ist, kann man dafür immer die Strecke nehmen.
Speziell für reelle [mm]x[/mm] mit [mm]-1 < x < 1[/mm] folgt:
[mm]G(x) = \frac{\pi}{2} + \int_0^x \frac{\mathrm{d}\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} = \frac{\pi}{2} - \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \arccos x[/mm]
Dabei steht im ersten Integral das Wurzelzeichen für den oben definierten Zweig. Das zweite Integral ist ein reelles Integral, hier ist die gewöhnliche positive reelle Wurzel gemeint.
Für reelle [mm]x[/mm] ist [mm]G(x)[/mm] also die reelle Arcuscosinusfunktion. Für [mm]z \in \Omega[/mm] ist [mm]G(z)[/mm] somit die holomorphe Fortsetzung des reellen Arcuscosinus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 So 28.06.2009 | | Autor: | jaruleking |
Danke die für die erklärung.
Gruß
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Du kannst übrigens das Gebiet noch größer wählen:
[mm]\Omega = \mathbb{C} \setminus \{ \, t \in \mathbb{R} \, : \, |t| \geq 1 \, \}[/mm]
Mehr ist aber wohl nicht drin.
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