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| Aufgabe | a) Gibt es eine holomorphe Funktion f : E [mm] \to \IC [/mm] mit f( [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] für alle n>1? E := { z [mm] \in \IC [/mm] | |z|<1}
b) Gibt es eine nicht-konstante holomorphe Funktion f : E [mm] \to \IC [/mm] mit unendlich vielen Nullstellen?
Beantworte durch ein Beispiel oder einen Beweis der Unmöglichkeit. |
Hallo,
zuerst möchst ich fragen, was überhaupt ein Beweis der Unmöglichkeit ist. Ist das so was ähnliches wie ein Widerspruchsbeweis?
Bei der a) habe ich mir gedacht, dass man hier die Taylorreihe anwenden könnte. Denn es gilt, wenn f holomorph ist, dann konvergiert in jedem z [mm] \in [/mm] E die Taylorreihe : [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k}(z-a)^{k}, [/mm] wobei [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm] ist. Kann ich damit was erreichen? Ich weiß hier gar nicht, bis zu welchem n ich hier die Taylorreihe anwenden soll, wenn überhaupt...Oder lieg ich da ganz falsch. Ich bräuchte hier einen Tipp.
b) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, kann man ja sagen, dass nicht-konstante Funktionen Nullstellen haben. Aber ich komm auf keine Funktion, die unendlich viele Nullstellen haben soll.
Es wär nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank,
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Fr 09.06.2006 | | Autor: | t.sbial |
Hallo,
zur b):
Ich behaupte das geht nicht! Wir kennen den Satz das die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion diskret ist also keinen Häufungspunkt hat. So E ist kompakt. Sei [mm] N=\{a_{1},a_{2},...\} [/mm] die abzählbare Nullstellenmenge in E. Wir können N als Folge in E auffassen. Wenn diese Folge einen HP besitzt sind wir fertig. Beachte das E kompakt ist also insbesondere beschränkt. Dann ist der Rest nicht mehr schwer.
Gruß
T.Sbial
Sorry aber ich hab das strikte < mit nem [mm] \le [/mm] verwechselt;) gegen den Rand können sich Nullstellen natürlich häufen.
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Mit [mm]\mathbb{E}[/mm] wird vermutlich die offene Einheitskreisscheibe gemeint sein. Und da kann man sich durchaus auf [mm]\mathbb{E}[/mm] holomorphe Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen vorstellen, z.B.
[mm]f(z) = \sin{\frac{\pi}{1-z}} , \ \ z \in \mathbb{E}[/mm]
Diese Funktion hat genau an den Stellen [mm]0 , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \ldots[/mm] Nullstellen. Und diese häufen sich zwar in [mm]\mathbb{C}[/mm], aber nicht in [mm]\mathbb{E}[/mm].
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Hallo,
danke für die Korrektur. Ich hab nicht gewusst, dass ich eine fehlerhafte Antwort bekommen habe.
Leider finde ich bei der a) kein Beispiel bzw. Gegenbeispiel dazu. Wenn ich jetzt für n nur Zahlen größer 1 einsetze, dann bin ich doch sicherlich in der Kreisscheibe drin aufgrund der Def. von der Fkt. f. Wie weise ich nach, dass sie auch homorph ist? Oder gibt es gar keine solche Fkt., die holomorph sein soll?
Danke!
milka
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Ich würde sagen, daß a) nicht geht. Angenommen, es gäbe eine auf [mm]\mathbb{E}[/mm] holomorphe Funktion [mm]f[/mm] mit
[mm]f \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{(-1)^n}{n} \, , \ \ n = 2,3,4,\ldots[/mm]
so folgte für [mm]n \to \infty[/mm] aus Stetigkeitsgründen
[mm]f(0) = 0[/mm]
Es sei nun
[mm]f(z) = \sum_{\nu=0}^{\infty}~c_{\nu} z^{\nu}[/mm]
die Potenzreihenentwicklung von [mm]f[/mm] um [mm]0[/mm]. Mit [mm]c_{\nu} = a_{\nu} + \operatorname{i} b_{\nu} ; \ a_{\nu}, b_{\nu} \in \mathbb{R}[/mm] und [mm]g(z) = \sum_{\nu=0}^{\infty}~a_{\nu} z^{\nu} , \ h(z) = \sum_{\nu=0}^{\infty}~b_{\nu} z^{\nu}[/mm] kann man das auch so schreiben:
[mm]f(z) = g(z) + \operatorname{i} h(z)[/mm]
Betrachten wir reelle [mm]x[/mm], so hätte die reelle Funktion [mm]g(x)[/mm] nach dem Zwischenwertsatz unendlich viele Nullstellen mit Häufungspunkt [mm]0[/mm]; denn [mm]g \left( \frac{1}{n} \right) = f \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{(-1)^n}{n}[/mm] wechselt fortwährend das Vorzeichen. Aber auch die reelle Funktion [mm]h(x)[/mm] hätte wegen [mm]h \left( \frac{1}{n} \right) = 0[/mm] unendlich viele Nullstellen mit Häufungspunkt [mm]0[/mm]. Nach dem Identitätssatz wären also sowohl [mm]g(z)[/mm] als auch [mm]h(z)[/mm] und somit auch [mm]f(z)[/mm] konstant gleich [mm]0[/mm]. Widerspruch!
Also kann es eine Funktion [mm]f[/mm] wie angenommen nicht geben.
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Hallo,
vielen Dank für dein Beispiel. Nur versteh ich den Zusammenhang zum Identitätssatz nicht ganz. So wie wir den Satz definiert haben, besagt er:
Wenn f und g zwei holomoprhe Funktionen von G [mm] \to \IC [/mm] auf einem Gebiet G sind, dann gilt:
1) f = g
2) { z [mm] \in [/mm] G | f(z) =g(z)} hat einen Häufungspunkt in G
3) Es gibt ein a [mm] \in [/mm] G,so dass für alle n gilt:Jede n-te Ableitung von g und f stimmen überein.
So wie ich das jetzt verstanden habe,ist doch in dem Beipsiel:
g( [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = h( [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = 0,also gilt die Nr. 2. Woher weiß ich dass h( [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] gleich 0 ist?
Danke!
milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
Noch eine klitzekleine Anmerkung:
> vielen Dank für dein Beispiel. Nur versteh ich den
> Zusammenhang zum Identitätssatz nicht ganz. So wie wir den
> Satz definiert haben, besagt er:
> Wenn f und g zwei holomoprhe Funktionen von G [mm]\to \IC[/mm] auf
> einem Gebiet G sind, dann gilt:
Das ``dann gilt'' sollte sicher ein ``Dann sind aequivalent'' sein, oder?
> 1) f = g
> [...]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> vielen Dank für dein Beispiel. Nur versteh ich den
> Zusammenhang zum Identitätssatz nicht ganz. So wie wir den
> Satz definiert haben, besagt er:
> Wenn f und g zwei holomoprhe Funktionen von G [mm]\to \IC[/mm] auf
> einem Gebiet G sind, dann gilt:
> 1) f = g
> 2) [mm]\{ z \in G | f(z) =g(z)\}[/mm] hat einen Häufungspunkt in G
> 3) Es gibt ein a [mm]\in[/mm] G,so dass für alle n gilt:Jede n-te
> Ableitung von g und f stimmen überein.
>
> So wie ich das jetzt verstanden habe,ist doch in dem
> Beipsiel:
> g( [mm]\bruch{1}{n})[/mm] = h( [mm]\bruch{1}{n})[/mm] = 0,also gilt die Nr.
> 2. Woher weiß ich dass h( [mm]\bruch{1}{n})[/mm] gleich 0 ist?
Nein, das ist es nicht. Du weisst, dass [mm] $h(\frac{1}{n}) [/mm] = [mm] \Im f(\frac{1}{n}) [/mm] = [mm] \Im \frac{(-1)^n}{n} [/mm] = 0$ ist (Imaginaerteil). Die Potenzreihe $h$ definiert nun eine holomorphe Funktion mit dem gleichen Konvergenzradius wie $f$, und nach dem Identitaetssatz (Implikation 2 nach 1 bei dir) stimmt also die Funktion zu $h$ mit der Nullfunktion ueberein. Damit (Implikation 1 zu 3) sind alle Ableitungen von $h$ in $0$ gleich $0$, womit die Potenzreihe $h$ komplett verschwindet.
Mit dem reellen Argument (Zwischenwertsatz) weisst du nun, dass die reellwertige Funktion $g$ (eingeschraenkt auf $E [mm] \cap \IR$) [/mm] eine Folge von Nullstellen besitzt, die sich gegen 0 haeuft (die Nullstellen sind definitiv nicht bei [mm] $\frac{1}{n}$, [/mm] aber jeweils zwischen [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n+1}$). [/mm] Mit dem Identitaetssatz (Implikation 2 nach 3) stimmen wieder alle Ableitungen von $g$ im Nullpunkt mit der der Nullfunktion ueberein, womit die Potenzreihe $g$ ebenfalls verschwindet.
Damit verschwindet die ganze Funktion $f$ die $E$, was aber ein Widerspruch zu [mm] $f(\frac{1}{n}) [/mm] = [mm] \frac{(-1)^n}{n}$ [/mm] darstellt!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]f(z) = g(z) + \operatorname{i} h(z)[/mm]
>
> Betrachten wir reelle [mm]x[/mm], so hätte die reelle Funktion [mm]g(x)[/mm]
> nach dem Zwischenwertsatz unendlich viele Nullstellen mit
> Häufungspunkt [mm]0[/mm]; denn [mm]g \left( \frac{1}{n} \right) = f \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{(-1)^n}{n}[/mm]
> wechselt fortwährend das Vorzeichen. Aber auch die reelle
> Funktion [mm]h(x)[/mm] hätte wegen [mm]h \left( \frac{1}{n} \right) = 0[/mm]
> unendlich viele Nullstellen mit Häufungspunkt [mm]0[/mm]. Nach dem
> Identitätssatz wären also sowohl [mm]g(z)[/mm] als auch [mm]h(z)[/mm] und
> somit auch [mm]f(z)[/mm] konstant gleich [mm]0[/mm]. Widerspruch!
Das klappt so nicht: $g$ und $h$ haben die Nullstellen nicht an den gleichen Stellen, womit du den Identitaetssatz nicht anwenden kannst!
LG Felix
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Deine Argumentation weiter unten ist ohne Frage wesentlich eleganter und bringt die Sache auf den Punkt. Dennoch dürfte mein Vorgehen auch stimmen. Daß [mm]g(z)[/mm] und [mm]h(z)[/mm] von vorneherein dieselben Nullstellen haben, habe ich ja nie behauptet. Und um [mm]h(z)[/mm] hätte ich mich weiter gar nicht zu kümmern brauchen, da wieder nach dem Identitätssatz wegen [mm]f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} \right)[/mm] sowieso [mm]f(z) = g(z)[/mm] gelten muß. Eigentlich ging es mir nur darum, eine Potenzreihe mit reellen Koeffizienten zu bekommen, um reell argumentieren zu können. Immerhin weiß ich jetzt etwas mehr über die Koeffizienten von Potenzreihen, die auf einer Menge reeller Zahlen mit Häufungspunkt reelle Werte annehmen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Leopold!
> Dennoch dürfte mein Vorgehen auch stimmen. Daß [mm]g(z)[/mm] und [mm]h(z)[/mm] von
> vorneherein dieselben Nullstellen haben, habe ich ja nie
> behauptet. Und um [mm]h(z)[/mm] hätte ich mich weiter gar nicht zu
> kümmern brauchen, da wieder nach dem Identitätssatz wegen [mm]f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( \frac{1}{n} \right)[/mm]
> sowieso [mm]f(z) = g(z)[/mm] gelten muß. Eigentlich ging es mir nur
> darum, eine Potenzreihe mit reellen Koeffizienten zu
> bekommen, um reell argumentieren zu können. Immerhin weiß
> ich jetzt etwas mehr über die Koeffizienten von
> Potenzreihen, die auf einer Menge reeller Zahlen mit
> Häufungspunkt reelle Werte annehmen ...
Es tut mir echt leid, ich hab das voellig missverstanden! Das was du da gemacht hast ist richtig! Sorry nochmals!
LG Felix
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Hallo,
woher weiß ich denn, dass die Punkte 0, [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{2}{3} [/mm] sich in [mm] \IC [/mm] häufen, aber nicht in E?
Gruß,milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> woher weiß ich denn, dass die Punkte 0, [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{2}{3}[/mm]
> sich in [mm]\IC[/mm] häufen, aber nicht in E?
Schau dir mal die Folge an; in [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert sie gegen 1. Und 1 liegt nicht in $E$; deswegen haeuft sie sich auch nicht in $E$.
Denn: Wuerde sie sich in $E$ haeufen, so gaeb es eine Teilfolge, die gegen ein $x [mm] \in [/mm] E$ konvergiert. Aber die Teilfolge konvergiert (in [mm] $\IC$) [/mm] gegen den gleichen Grenwert wie die ganze Folge, also gegen 1. Damit muss jedoch $x = 1$ sein, da die Topologie auf $E$ die Relativtopologie von [mm] $\IC$ [/mm] ist, aber $1 [mm] \not\in [/mm] E$...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> a) Gibt es eine holomorphe Funktion f : E [mm]\to \IC[/mm] mit f(
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] für alle n>1? E := [mm]\{ z \in \IC | |z|<1\}[/mm]
Schau dir mal die Funktion $g(z) := z$ und $h(z) := -z$ an. Wenn es eine solche Funktion $f$ gibt, dann gilt $f(z) = g(z)$ fuer alle $z [mm] \in \{ \tfrac{1}{2 n} \mid n > 1 \}$ [/mm] (haeuft sich in $E$), womit nach dem Identitaetssatz $f$ und $g$ auf $E$ uebereinstimmen. Mit dem gleichen Argument (betrachte [mm] $\{ \tfrac{1}{2 n + 1} \mid n > 1 \}$) [/mm] stimmen auch $f$ und $h$ auf $E$ ueberein. Aber $g$ und $h$ unterscheiden sich fuer $z [mm] \neq [/mm] 0$, ein Widerspruch! Also kann es kein solches $f$ geben...
LG Felix
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