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Holomorph -> konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Sa 12.11.2011
Autor: katrin10

Aufgabe
Sei [mm] U\subset\IC [/mm] offen und zusammenhängend und [mm] f:U\to\IC [/mm] eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle [mm] z\in [/mm] U, dann ist f konstant.

Hallo,

betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?

Vielen Dank.

Katrin

        
Bezug
Holomorph -> konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 12.11.2011
Autor: fred97


> Sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und zusammenhängend und [mm]f:U\to\IC[/mm]
> eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle
> [mm]z\in[/mm] U, dann ist f konstant.
>  Hallo,
>
> betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f
> holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f
> ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?


$|cos(z)+i*sin(z)|=1$


   gilt nur für z=it mit t [mm] \in \IR [/mm]

Edit: gilt natürlich nur  z=t mit t [mm] \in \IR [/mm]

Es ist [mm] cos(z)+i*sin(z)=e^{iz} [/mm]

FRED

>  
> Vielen Dank.
>  
> Katrin


Bezug
                
Bezug
Holomorph -> konstant: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:41 Sa 12.11.2011
Autor: donquijote


> > Sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und zusammenhängend und [mm]f:U\to\IC[/mm]
> > eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle
> > [mm]z\in[/mm] U, dann ist f konstant.
>  >  Hallo,
> >
> > betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f
> > holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f
> > ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?
>  
>
> [mm]|cos(z)+i*sin(z)|=1[/mm]
>  
>
> gilt nur für z=it mit t [mm]\in \IR[/mm]

kleine Verwechslung: |cos(z)+i*sin(z)|=1 gilt für reelle z.
Da die komplexe sin/cos-Funktion über die e-Funktion definiert ist, sind sin und cos im Komplexen unbeschränkt.

>  
> Es ist [mm]cos(z)+i*sin(z)=e^{iz}[/mm]
>  
> FRED
>  >  
> > Vielen Dank.
>  >  
> > Katrin
>  


Bezug
                        
Bezug
Holomorph -> konstant: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Sa 12.11.2011
Autor: fred97


> > > Sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und zusammenhängend und [mm]f:U\to\IC[/mm]
> > > eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle
> > > [mm]z\in[/mm] U, dann ist f konstant.
>  >  >  Hallo,
> > >
> > > betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f
> > > holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f
> > > ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?
>  >  
> >
> > [mm]|cos(z)+i*sin(z)|=1[/mm]
>  >  
> >
> > gilt nur für z=it mit t [mm]\in \IR[/mm]
>  
> kleine Verwechslung: |cos(z)+i*sin(z)|=1 gilt für reelle
> z.

Du hast recht. Ich war noch nicht wach.

FRED

>  Da die komplexe sin/cos-Funktion über die e-Funktion
> definiert ist, sind sin und cos im Komplexen
> unbeschränkt.
>  
> >  

> > Es ist [mm]cos(z)+i*sin(z)=e^{iz}[/mm]
>  >  
> > FRED
>  >  >  
> > > Vielen Dank.
>  >  >  
> > > Katrin
> >  

>  


Bezug
                                
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Holomorph -> konstant: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Sa 12.11.2011
Autor: katrin10

Danke!

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