Holom.&bijektive Abb. gesucht < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich suche eine holomorphe und bijektive Abbildung E [mm] \to \IC^{-}.
[/mm]
[mm] \IE [/mm] ist def. als E := {z [mm] \in \IC [/mm] | |z| < 1}, also der Einheitskreis.
und [mm] \IC^{-} [/mm] sind die negativen komplexen Zahlen, also:
[mm] \IC^{-} [/mm] :={ z [mm] \in \IC [/mm] | Re(z) < 0}, also die linke Seite der y-Achse in einem Koord.System.
Also hab ich die gesuchte Fkt. so def. : E [mm] \to \IC^{-}, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] -x [mm] \pm [/mm] i y.
Ist diese Fkt. so einfach?  stimmt sie überhaupt?
Danke für die Hilfe.
milka
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Hallo milka,
ich fürchte, so leicht ist es nicht....
Deine abbildung ist nicht bijektiv und meilenweit davon entfernt, den ganzen halbraum als bild zu haben. 
schlag nochmal in deinen unterlagen das thema möbius-transformationen nach, so eine benötigst du nämlich hier.
VG
Matthias
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Hallo!
Danke für deinen Hinweis.
Ich weiß, dass die Abbildung E [mm] \to [/mm] H, z [mm] \mapsto [/mm] i [mm] \bruch{1+z}{1-z} [/mm] die Abbildung vom Einheitskreis in die obere Halbebene ist, wobei H def. ist als H := { z [mm] \in \IC [/mm] | Im(z) > 0}.
In der Vorlesung haben wir die Möbuistransformation noch nicht behandelt.
Kann man die obere Halbebene nicht einfach um 180° drehen, sodass man dann eine Abbildung erhält, die ich suche? Ich weiß von der oberen Abbildung, dass sie bijektiv und holomorph ist.
Danke!
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 07.05.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Kann man die obere Halbebene nicht einfach um 180° drehen,
> sodass man dann eine Abbildung erhält, die ich suche?
die idee die halbeben zu drehen ist sehr gut, nur solltest dunnicht um 180° drehen - mach dir am besten mal eine skizze, dann siehst du um welchen winkel du drehen musst.
eine dreheung ist einfach die multiplikation mit einer komplexen zahl vom betrag 1. diese ist als lineare funktion holomorph. da auch die verkettung holomorpher funktionen wieder holomorph ist, kannst du so also die gewünschte funktion erhalten. du musst dir jetzt nur noch überlegen mit welcher komplexen zahl du multiplizieren musst um $H$ in $E^-$ überzuführen ...
probiere mal, ob du damit weiterkommst.
grüße
andreas
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Hallo!
Das sind ja echt sehr hilfereiche Tipps, vielen Dank!
Ich drehe also um 90°. Wie du sagst, ist eine Drehung eine Multiplikation mit einer komlexen Zahl vom Betrag 1.
Ich habe mir folgendes gedacht:
90° = [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] also ist [mm] |e^{ \bruch{\pi}{2}i}|=1
[/mm]
Also verkette ich: g [mm] \circ [/mm] f (z)= g(f(z)) = [mm] |e^{ \bruch{\pi}{2}i}| [/mm] i [mm] \bruch{1+z}{1-z}
[/mm]
Stimmt das so?
Gruß, milka
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