Höldersche Ungleichung anwende < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 10.07.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Sei - [mm] \infty [/mm] < a < b < [mm] \infty, [/mm] k [mm] \in \mathcal{L}^2((a,b)^2) [/mm] und
Kf(x) := [mm] \int_a^b [/mm] k(x,y)f(y) dy [mm] \forall [/mm] a < x < b [mm] \forall [/mm] f [mm] \in \mathcal{L^2}(a,b)
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] |Kf(x)|^2 \le \int^b_a|k(x,y)|^2dy\int^b_a|f(y)|^2 [/mm] dy [mm] \forall [/mm] a < x < b [mm] \forall [/mm] f [mm] \in \mathcal{L}^2(a,b) [/mm] |
Hallo!
In der Vorlesung hatten wir als Höldersche Ungleichung definiert:
Für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] ist
[mm] ||f||_p:=(\int |f|^p d\mu)^{1/p}
[/mm]
[mm] \mathcal{L}_p(\mu) [/mm] := [mm] \{ f : X \to \IK : f \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IK)-\mbox{messbar und } ||f||_p < \infty \} [/mm] =: [mm] \mathcal{L}^p(\mu)
[/mm]
Satz:
Sei 1 < p < [mm] \infty, [/mm] 1 < q < [mm] \infty [/mm] : 1/q +1/p = 1. dann gilt die Hödersche Ungleichung
[mm] |fg|_1 \le ||f||_p ||g||_q
[/mm]
In der Lösung steht Anwendung der Hölderschen Ungleichung liefert sofort die Behauptung.
So, jetzt stelle ich mir die Frage, ist da eine Verallgemeinerung der Hölderschen Ungleichung gemeint oder kann ich mir die Normen [mm] ||f||_p [/mm] und [mm] ||g||_q [/mm] irgendwie definieren? Ich verstehe nicht, wie man von der Hölderschen Ungleichung aus der Vorlesung auf die genannte Ungleichung in der Aufgabenstellung kommt.
Oder handelt es sich tatsächlich um eine Verallgemeinerung bzw. anderen Form der Hölderschen Ungleichung?
Viele Grüße
valaida
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Fr 10.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei - [mm]\infty[/mm] < a < b < [mm]\infty,[/mm] k [mm]\in \mathcal{L}^2((a,b)^2)[/mm]
> und
> Kf(x) := [mm]\int_a^b[/mm] k(x,y)f(y) dy [mm]\forall[/mm] a < x < b [mm]\forall[/mm] f
> [mm]\in \mathcal{L^2}(a,b)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]|Kf(x)|^2 \le \int^b_a|k(x,y)|^2dy\int^b_a|f(y)|^2[/mm] dy
> [mm]\forall[/mm] a < x < b [mm]\forall[/mm] f [mm]\in \mathcal{L}^2(a,b)[/mm]
> Hallo!
>
> In der Vorlesung hatten wir als Höldersche Ungleichung
> definiert:
>
> Für 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm] ist
>
> [mm]||f||_p:=(\int |f|^p d\mu)^{1/p}[/mm]
>
> [mm]\mathcal{L}_p(\mu)[/mm] := [mm]\{ f : X \to \IK : f \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IK)-\mbox{messbar und } ||f||_p < \infty \}[/mm]
> =: [mm]\mathcal{L}^p(\mu)[/mm]
>
> Satz:
>
> Sei 1 < p < [mm]\infty,[/mm] 1 < q < [mm]\infty[/mm] : 1/q +1/p = 1. dann
> gilt die Hödersche Ungleichung
>
> [mm]|fg|_1 \le ||f||_p ||g||_q[/mm]
>
> In der Lösung steht Anwendung der Hölderschen Ungleichung
> liefert sofort die Behauptung.
Ja, waehle $p = q = 2$ (dann gilt $1/p + 1/q = 1$) und quadriere die Ungleichung. Dann benutze noch [mm] $|\int [/mm] f| [mm] \le \int [/mm] |f|$ und du bist fertig.
LG Felix
|
|
|
|
