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| Aufgabe | Sei [mm] 0< \alpha \le \beta \le 1 [/mm].
Gilt nun [mm] C^\alpha (G) \subset C^\beta (G) [/mm]?
(wobei [mm] C^\alpha (G) [/mm] die Menge der [mm] \alpha [/mm]-Hölder-Stetigen funktionen bezeichnet.) |
hallöchen
meine Frage ist, ob obige Aussage wahr ist ?
ich bin momentan noch der überzeugung sie stimmt, da ich eine Funktion f, die [mm]\alpha[/mm]-hölder stetig ist, abschätzen kann mit einer konstanten multipliziert mit dem Abstand von 2 Stellen von f mit exponent [mm]\alpha[/mm].
Kann ich das nun analog abschätzen mit [mm]\beta[/mm] und erhalte meine Behauptung?
kurz:
[mm] | f(x)-f(y) | \le c | x-y|^\alpha \le c d |x-y|^\beta [/mm] geht das?
Lg
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Hiho,
> Sei [mm]0< \alpha \le \beta \le 1 [/mm].
> Gilt nun [mm]C^\alpha (G) \subset C^\beta (G) [/mm]?
Nein, denn dann wäre jede Hölderstetige Funktion ja sofort Lipschitz-stetig, da Hölderstetigkeit zum Exponent 1 der Lipschitzstetigkeit entspricht.
Bastel (oder such dir) einfach eine Funktion, die Hölder-Stetig zu einem [mm] $\alpha [/mm] < 1$, aber nicht Lipschitz stetig ist.
MFG,
Gono.
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