Höhenfußpunkt einer Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 24.07.2008 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A (5|6|1), B (2|6|1), C (0|2|1), D (3|2|1) und S (2|4|5). Das Viereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S.
a) Zeichnen Sie die Pyramide in ein kartesisches räumliches (!) Koordinatensystem ein (Schrägbild).
b) Welche Länge besitzt die Seitenkante AS ?
c) Welcher Punkt F ist der Höhenfußpunkt der Pyramide? Wie hoch ist die Pyramide?
Benutzen Sie bei der Lösung der Aufgaben keine Vektorrechnung. |
Hallo ihr alle!
Hoffentlich könnt ihr mir mit der Frage oben helfen...
An sich finde ich die Frage einfach. Teilaufgabe a) habe ich leicht gelöst, dafür muss man ja nur wissen, wie man Punkte im räumlichen Koordinatensystem einträgt. Teilaufgabe b) fiel mir ebenfalls leicht. Um die zu lösen benötigt man ja lediglich die Formel für den Abstand von Punkten im Raum [mm] \wurzel{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2}^{2})+(b_{3}-a_{3})^{2}} [/mm] .
Allerdings weiß ich nicht im geringsten wie Aufgabe c) zu lösen ist. Ich habe ziemlich lange nachgedacht. Einen Höhenfußpunkt in einem ebenen Dreieck zu finden ist ja nicht schwer, aber wie soll man das in einem Räumlichen machen? Und das ohne Vektorrechnung (Es ist der Anfang des Buches, nur das Zeichnen und Eintragen von Punkten in ein räumliches Koordinatensystem und die Abstandsformel sind bekannt)? Und das mit der Höhe der Pyramide im Raum versteh ich auch nicht so recht.
Ich hoffe dann mal auf eure Hilfe....
Danke!!!
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Hi,
also wir haben ja die Grundfläche ABCD. Wenn du nun von der Spitze S eine Gerade so einzeichnest, dass sie senkrecht auf die Grundfläche trifft, dann ist dieser Schnittpunkt genau der Höhenfußpunkt.
Da du es nicht rechnerisch lösen sollst, bleibt dir wohl nur übrig, es an der Zeichnung abzulesen.
Grüße Patrick
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:02 Do 24.07.2008 | | Autor: | Nima |
Hi! Danke für die schnelle Antwort :)
Aber die Pyramide ist doch praktisch ,,dreidimensional". Da kann man doch nicht genau senkrecht einen Strich zur Grundfläche ziehen... Wie würde man das machen, um ein genaues Ergebnis zu bekommen?
Und wie ist das mit der Höhe der Pyramide?
Danke!
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> Hi! Danke für die schnelle Antwort :)
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> Aber die Pyramide ist doch praktisch ,,dreidimensional". Da
> kann man doch nicht genau senkrecht einen Strich zur
> Grundfläche ziehen... Wie würde man das machen, um ein
> genaues Ergebnis zu bekommen?
Ich weiß jetzt nicht genau, wie die Pyramide aussieht. Wenn sie sehr "schief" ist könnte es in der Tat schwierig werden. Weißt du was genaueres über die Grundfläche, ist es ein Quadrat oder Rechteck?
Ansonsten weiß ich ja da auch nicht weiter.
Ich lasse es mal auf halb-beantwortet.
> Und wie ist das mit der Höhe der Pyramide?
>
Das ist dann die Länge der Strecke [mm] \overrightarrow{FS}
[/mm]
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Do 24.07.2008 | | Autor: | Nima |
Die Grundfläche ist ein Rechteck.
Aber bei der Berechnung des Höhenfußpunktes bei ebenen Dreiecken geht man doch so vor, dass man eine senkrechte Linie von jeweils den Punkten A, B und C zur gegenüberliegenden Seite zieht und da, wo sich die Linien treffen, ist dann der Höhenfußpunkt.
Wie kommt es, dass wir nun hier im Raum nur von der Spitze eine senkrechte Linie auf die Grundfläche ziehen?
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Im Normalfall löst man solche Aufgaben mit Vektorrechnung, und anders ist es nur schwer möglich. Wenn dir dies "verboten" wird, bedeutet das, dass hier irgendwelche Besonderheiten vorliegen müssen, die die Anwendung der Vektorrechnung überflüssig machen. Und genau so ist es auch:
Frage: Wieso kann man solch eine Aufgabe ohne Vektorrechnung lösen?
Antwort: Die Punkte A, B, C, D liegen alle auf gleicher Höhe z=1 (mit Höhe meine ich hier die z-Koordinate bzw. den Abstand zur x-y-Ebene). Das bedeutet, die Grundfläche ist parallel zur x-y-Ebene in der Höhe 1. Da S die Höhe 5 hat, liegt S 4 Einheiten darüber, hat also den Abstand 4 zur Grundfläche. Damit hat die Pyramide die Höhe 4.
Außerdem ist nun die Höhenlinie senkrecht zur x-y-Ebene und behält damit die x-y-Koordinaten von S, so dass der Lotfußpunkt L(2|4|1) heißen muss, (2|4| von S übernommen, |1) von der gemeinsamen Höhe der Grundfläche).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 07.10.2008 | | Autor: | Lat |
Wie ermittle ich den Höhenfußpunkt denn rechnerisch?
Vielen Dank
Lat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 07.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lat,
> Wie ermittle ich den Höhenfußpunkt denn rechnerisch?
>
Eine Möglichkeit ohne Vektorrechnung hat HJKweseleit ja schon genannt. Eine andere geht über die Vektorrechnung. Dazu bestimmst Du die Gleichung einer Senkrechten zur Ebene [mm] E_{ABC} [/mm] durch den Punkt S. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Ebene ist der Fußpunkt.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 07.10.2008 | | Autor: | Lat |
Wie würde das in diesem Beispiel aussehen?
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Du musst als erstes eine Gerade aufstellen: [mm] \vec{x}=\vec{s}+t\cdot{}\vec{n}
[/mm]
Hierbei ist [mm] \vec{s} [/mm] der Ortsvektor zum Punkt S und [mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor der Ebene. Diese Gerade kannst du dann zum Schnitt mit der Grundebene der Pyramide bringen.
Grüße Patrick
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