Hoch/Tiefpunkte bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie hoch und tiefpunkte:
f: [- Pi , 2 Pi] [mm] \to \IR, f(x):=e^{-\bruch{x}{2}}*sin(x) [/mm] |
Hallo,
hänge gerade an dieser Aufgabe.
Um Hoch/Tiefpunkte zu bestimmen muss ich ja die erste Ableitung
bilden. Diese dann Null Setzen.
Die Ergebnise aus f'(x) = 0 setze ich in f ''(x) ein.
Ist das Ergebnis kleiner 0 haben wir einen Hochpunkt.
Ist das Ergebnis größer 0 haben wir einen Tiefpunkt.
Also habe ich erstmal die erste Ableitung gebildet:
Produktregel...
f(x) = [mm] e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] * sin(x)
f'(x) = [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] * sin(x) + [mm] e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] * cos(x)
Jetzt habe ich aber Probleme mit f'(x) = 0 zu setzen...
Ich weiß nur, dass die E-Funktion nie null wird.
Cos ist im Intervall -Pi, 2Pi 3 mal Null.
Sin ist 4 mal Null im Intervall -Pi, 2Pi
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen dank,
steffi
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Hallo,
du kannst ausklammern
[mm] f'(x)=e^{-\bruch{x}{2}}(-\bruch{1}{2}sin(x)+cos(x))
[/mm]
[mm] e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] kann nicht zu Null werden hast du erkannt, also bleibt dir nur
[mm] 0=-\bruch{1}{2}sin(x)+cos(x)
[/mm]
Steffi
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Hallo Steffi 
Hm.. Also vllt. seh ich nur was nicht ...
Aber ich habe ja
f' (x) = 0
[mm] -\bruch{1}{2}*sin(x) [/mm] + cos(x) = 0
cos (x) = [mm] \bruch{1}{2}*sin(x)
[/mm]
sin(x) = 2cos(x)
Aber ich glaube das sagt mir nicht viel :)
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> Aber ich habe ja
>
> f' (x) = 0
> [mm]-\bruch{1}{2}*sin(x)[/mm] + cos(x) = 0
> cos (x) = [mm]\bruch{1}{2}*sin(x)[/mm]
> sin(x) = 2cos(x)
>
> Aber ich glaube das sagt mir nicht viel :)
Hallo,
beachte, dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] die Gleichung
[mm] $(\*)$ $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] (Trigonometrischer Pythagoras!)
gilt.
Wenn man Deine obige Gleichung quadriert, so folgt:
[mm] $\sin^2(x)=4\cos^2(x)$
[/mm]
und dann kannst Du in der letzten Gleichung [mm] $(\*)$ [/mm] einsetzen.
(Z.B. [mm] $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ [/mm] benutzen!)
Weil aber leider nur
[mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] 2\cos(x)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \sin^2(x)=(2\cos(x))^2$ [/mm]
gilt und i.a. diese Folgerung
[mm] $\sin^2(x)=(2\cos(x))^2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \sin(x) [/mm] = [mm] 2\cos(x)$
[/mm]
[mm] $\mbox{\underline{nicht}}$ [/mm] gilt (siehe Bild unten), wie man z.B. mit
[mm] $x:=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx [/mm] 2,03$ (aufpassen, dass der Taschenrechner auf RAD steht) erkennt
(m.a.W.: das Quadrieren oben ist KEINE Äquivalenzumformung)
sind die so errechneten $x$-Werte zunächst die einzig möglichen Kandidaten, die die Gleichung
[mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] 2\cos(x)$
[/mm]
lösen können. Man muss also die Probe machen, welche von diesen Kandidaten die letzte Gleichung auch wirklich lösen.
Und hier das ganze am Bild:
Du erkennst, dass die grüne Kurve "weniger" Schnittpunkte mit der $x$-Achse hat als die Blaue ("weniger" im Sinne von: Es gibt Schnittpunkte der blauen Kurve mit der $x$-Achse, die keine Schnittpunkte der grünen mit der $x$-Achse sind; nicht im Sinne von "Mächtigkeit"). Die grüne Kurve ist der Graph der Funktion [mm] $f(x)=\sin(x)-2*\cos(x)$, [/mm] die blaue ist der Graph der Funktion [mm] $g(x)=\sin^2(x)-4*\cos^2(x)$.
[/mm]
Also:
Die Nullstellen von $f$ sind gerade die Lösungen der Gleichung [mm] $\sin(x)=2*\cos(x)$, [/mm] und die Nullstellen von $g$ sind gerade die Lösungen der Gleichung [mm] $\sin^2(x)=4*\cos^2(x)$.
[/mm]
Mit dem obigen Trick berechnet man zunächst mal die Nullstellen von $g$, und dann kontrolliert man, welche davon auch die Nullstellen von $f$ sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Steffi,
sin(x)=2cos(x)
für [mm] x\not=90^{0}+k\cdot{}180^{0} [/mm] wobei k [mm] \in \IZ, [/mm] wovon wir hier
locker ausgehen können, Division durch cos(x)
tan(x)=2
jetzt brauchst du keine Klimmzüge zu machen, und deine
Kandidaten noch mit einer Probe zu kontrollieren,
Steffi
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Haltet mir für doof aber ich kriege das nicht hin :(
Gut.. Wir haben dann Tan[x] = 2 stehen...
Was mach ich aber damit? Das müsste doch nun ein hoch oder Tiefpunkt sein... oder irre ich mich?
Bin verwirrt.. denn normalerweise habe ich ja ein ergebnis raus wie z.B. x = 123...
Die 123 pack ich dann in die zweite Ableitung und prüfe auf hoch odder tiefpunkt.
danke Euch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Den Tangens kannst du nach x auflösen, bzw. dein Taschenrechner.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Hi.
Wie man dadrauf kommt habe ich verstanden. Nur der Graph hat mehrere Extrema (wenn man den Definitionsbereich außer acht lässt). arctan(2) [mm] \approx [/mm] 1,1071 sagt mir mein Taschenrechner. Aber da sind noch einige mehr. Wie komme ich auf die anderen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Der Graph vom Tangens ist periodisch. Das heißt du kannst zu dem Ergebnis was du hast eine oder zwei oder beliebig viele Perioden dazuaddieren und wirst wieder an einer Stelle landen, die den selben Funktionswert hat.
Welche Periode hat der Tangens?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 04.02.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Manchmal mach ich mir das leben auch selbst schwer... ^^
n * [mm] \pi, [/mm] n [mm] \in \IZ
[/mm]
also sind Nullstellen bei allen arctan(2)+n * [mm] \pi
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> Manchmal mach ich mir das leben auch selbst schwer... ^^
>
> n * [mm]\pi,[/mm] n [mm]\in \IZ[/mm]
>
> also sind Nullstellen bei allen arctan(2)+n * [mm]\pi[/mm]
Hallo,
genau, und wenn Du über meinen Weg gerechnet hättest, hättest Du als Ergebnis die Nullstellen:
[mm] $x_n=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+n*\pi$ [/mm] $(n [mm] \in \IZ)$
[/mm]
(Das sieht erstmal aus, als wäre es eine andere Formel, in Wahrheit sind das aber genau die Nullstellen, die man auch mit dem [mm] $\arctan(.)$ [/mm] errechnet.)
Das hier (bei der Darstellung mittels des [mm] $\arccos(.)$ [/mm] oben!) die kleinste Periode [mm] $\pi$ [/mm] anstatt [mm] $2*\pi$ [/mm] auftaucht, liegt dann im Wesentlichen daran, dass $x [mm] \mapsto \cos^2(x)$ [/mm] die kleinste Periode [mm] $\pi$ [/mm] hat.
Mein Rechenweg ist nur etwas zu kompliziert, aber wie ich schon Steffi21 schrieb:
Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht 
Also Sorry für meinen Rechenweg, der zwar nicht falsch ist, aber umständlicher als notwendig.
Gruß,
Marcel
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