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| Aufgabe | Gegeben ist: [mm] g_{t}(x)= [/mm] 1/8 [mm] t^2x^3+ 9/16tx^2+ [/mm] 9/16x
Berechne die Extremwerte. |
Hallöchen!
Diese Aufgabe schafft mich..
Ich rechne mir schon die Finger wund:
Also bisher habe ich:
[mm] g_{t}´(x)= 3/8t^2x^2+ [/mm] 9/8tx+ 9/16
[mm] 0=3/8t^2x^2+ [/mm] 9/8tx+ 9/16
[mm] 0=x^2+3/t [/mm] x+ [mm] 3/(2t^2)
[/mm]
Pq-Formel:
x1/2= -3/(2t) [mm] \pm \wurzel{(3/(2t)^2-3/(2t^2)}
[/mm]
umformen etc:
= -3/(2t) [mm] \pm \wurzel{3}/(2t)
[/mm]
x1= [mm] -3+\wurzel{3}/ [/mm] (2t) ; [mm] x2=-3-\wurzel{3}/ [/mm] (2t)
So nun ausrechnen der y-Werte (nun wirds lustig..)
[mm] g_{t}(-3+\wurzel{3}/ [/mm] (2t)) = -0,613/t
[mm] g_{t}(-3-\wurzel{3}/ [/mm] (2t)) = 0,163/t
-->Da bin ich mir wirklich total unsicher.. das sind alles so komische werte..
UNd nun wollte ich noch überprüfen, wie diese beiden E (also Extremwerte) nun sind, Hoch-oder Tiefpunkt.
[mm] E1((-3+\wurzel{3}/ [/mm] (2t)) | -0,613/t)
[mm] E2((-3-\wurzel{3}/ [/mm] (2t)) | 0,163/t)
Dabei nehme ich ja die 2.teAbleitung und setzte den x wert des jeweiligen E ein..dabei kommt bei mir leider nur Salat raus..
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Danke schonmal..
Marie
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Hallo Rebeccab.!
Du hast die Extremstellen-Kandidaten komplett richtig berechnet. Es ist
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-3+\wurzel{3}}{2*t}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-3-\wurzel{3}}{2*t}
[/mm]
Wenn man diese jetzt in die Funktion f einsetzt, kommt natürlich wirklich ein relativ komplizierter Term raus...
Deine zweite Zahl [mm] (\bruch{0.163}{t}) [/mm] für [mm] x_{2} [/mm] stimmt, bei der ersten jedoch scheinst du dich verrechnet zu haben.
Es ist
[mm] f(x_{1}) \approx -\bruch{0.16238}{t}
[/mm]
[mm] f(x_{2}) \approx \bruch{0.16238}{t}
[/mm]
Die genauen Werte kannst du aber eigentlich auch berechnen; das kannst du ja mal versuchen. Nur zum Überprüfen:
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] -\bruch{3*\wurzel{3}}{32*t}
[/mm]
[mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{3*\wurzel{3}}{32*t}
[/mm]
-->Extrempunkt-Kandidaten sind also:
[mm] P_{1}(x_{1}|f(x_{1})) [/mm] = [mm] P_{1}(\bruch{-3+\wurzel{3}}{2*t}|-\bruch{3*\wurzel{3}}{32*t})
[/mm]
[mm] P_{2}(x_{2}|f(x_{2})) [/mm] = [mm] P_{2}(\bruch{-3-\wurzel{3}}{2*t}|\bruch{3*\wurzel{3}}{32*t})
[/mm]
Die zweite Ableitung hast du ja sicher berechnet. Es ist
[mm]f''_{t}(x) = \bruch{3}{4}*t^{2}*x+\bruch{9}{8}*t[/mm]
Nun setzt du, wie du richtig bemerkt hast, die Punkte ein:
(Am Einfachsten eigentlich in den Taschenrechner eingeben, ich rechne es hier nur mal mit den genauen x-Stellen von oben durch):
[mm] f''(x_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*t^{2}*x_{1}+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{4}*t^{2}*(-\bruch{3*\wurzel{3}}{32*t})+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
Brüche zusammenfassen
= [mm] -t^{2}*\bruch{9*\wurzel{3}}{128*t}+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
t kürzen
= [mm] -t*\bruch{9*\wurzel{3}}{128}+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
noch auf einen Bruch (erweitern von [mm] \bruch{9}{8} [/mm] mit 16)
= [mm] t*\bruch{144-9*\wurzel{3}}{128}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 1.0032*t
Das andere kannst du ja mal selbst probieren 
Du musst nun auswerten, für welche t [mm] f''(x_{1}) \approx [/mm] 1.0032*t größer 0 bzw. kleiner 0 ist. Probiers!
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Dankeschön schonmal!
Ok, ich habs für
f´´(x2) berechnet und komme auf
[mm] \approx [/mm] t*1,2478
ist das erste der Tiefpunkt und
x2= der Hochpunkt?
Denn wenn t>0 ist dann wird t negativ...
Oder muss ich das irgendwie anders lösen?
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Tut mir leid, ich hatte es dir falsch gezeigt: Ich habe die y-Werte der Extrempunkte in die zweite Ableitung eingesetzt, man muss aber natürlich die x-Werte einsetzen...
Ansonsten hättest du es richtig gemacht ; also setze nochmal die richtigen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] -Werte in die zweite Ableitung ein!
Es ist völlig richtig, dass du für die Auswertung, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, Fallunterscheidungen für t machen musst.
Hier ist es leicht - du musst nur t < 0 bzw. t > 0 betrachten und schreibst dann einfach jeweils hin, ob es dann ein Maximum oder Minimum ist.
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oje..ok..
also ich hab für f´´(x1) = t* [mm] \wurzel{3}/8 [/mm] raus...
und bei f´´(x2)= [mm] -t*\wurzel{3}/8 [/mm] ..ich glaub da ist irgendwie was falsch.
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Das ist schon fast richtig!
Also die zweite Ableitung war ja
[mm] f_{t}''(x) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*t^{2}*x+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
und die möglichen Extremstellen sind
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-3+\wurzel{3}}{2*t}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-3-\wurzel{3}}{2*t}
[/mm]
Wir setzen ein:
[mm] f_{t}''(x_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*t^{2}*x_{1}+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{4}*t^{2}*(\bruch{-3+\wurzel{3}}{2*t})+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
Nun beim ersten Summanden t rauskürzen:
= [mm] \bruch{3}{4}*t*\bruch{-3+\wurzel{3}}{2}+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
Die beiden Brüche im ersten Summanden zusammen schreiben:
= [mm] \bruch{3*(-3+\wurzel{3})}{8}*t+\bruch{9}{8}*t
[/mm]
Nun kann man (da die beiden Summanden auch schon denselben Hauptnenner haben) die Brüche zusammenaddieren:
= [mm] \bruch{3*(-3+\wurzel{3})+9}{8}*t
[/mm]
Ausklammern des Zählers:
= [mm] \bruch{-9+3*\wurzel{3}+9}{8}*t
[/mm]
= [mm] \bruch{3*\wurzel{3}}{8}*t
[/mm]
Ich wette, du hast das auch genau so gemacht, aber nicht beachtet, dass auch die Wurzel von 3 noch einen Faktor 3 abbekommt!
Für [mm] x_{2} [/mm] kommt man dann auf (Wie du auch fast selbst herausbekommen hast)
[mm] f_{t}''(x_{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{3*\wurzel{3}}{8}*t
[/mm]
Das einzige, was sich bei [mm] f_{t}''(x_{2}) [/mm] im Gegensatz zu [mm] f_{t}''(x_{1}) [/mm] verändert ist im Grunde das Minus vor der Wurzel aus 3, und das schiebt sich dann einfach ganz nach vorn
So, nun mach mal eine Fallunterscheidung für t, mit anderen Worten: Für welche t werden die Terme negativ, für welche positiv?
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ok...also wie genau soll ich das machen?
bei E1= t>0 Tiefpunkt
und t<0 Hochpunkt?
Oder wie muss ich das genau machen?
Was muss ich dabei beachten?
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Wichtig:
Guck' nochmal in die Aufgabenstellung ob nicht schon t>0 oder so vorausgesetzt wird, meistens wird eine solche Fallunterscheidung nämlich nicht verlangt...
Auf jeden Fall:
Sieh dir f'' für die jeweilig eingesetzte Stelle an und überprüfe, wie sie sich für verschiedene t verhält:
[mm] f_{t}''(x_{2}) [/mm] = [mm] -\bruch{3\cdot{}\wurzel{3}}{8}\cdot{}t
[/mm]
Für x positiv wird dieser Wert auf jeden Fall negativ; und f'' < 0 an einer bestimmten Stelle heißt, dass dort ein Maximum ist.
--> Bei [mm] P(x_{2}|f(x_{2})) [/mm] liegt ein Maximum vor, falls t > 0.
--> Bei [mm] P(x_{2}|f(x_{2})) [/mm] liegt ein Minimum vor, falls t < 0.
Falls t = 0 ist, ist f bloß eine lineare Funktion; an den Stellen liegen dann logischerweise keine Extremstellen vor.
Probier es selbst mal für [mm] x_{1}!
[/mm]
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Ok...dann wäre es bei
$ [mm] f_{t}''(x_{2}) [/mm] $=$ [mm] \bruch{3\cdot{}\wurzel{3}}{8}\cdot{}t [/mm] $
--> Bei $ [mm] P(x_{1}|f(x_{1})) [/mm] $ liegt ein Maximum vor, falls t < 0.
--> Bei $ [mm] P(x_{1}|f(x_{1})) [/mm] $ liegt ein Minimum vor, falls t > 0.
=?
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Hallo, korrekt, aber du meinst die Stelle [mm] x_1
[/mm]
für t<0 wird dein Term negativ, also Maximum
für t>0 wird dein Term positiv, also Minimum,
Steffi
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