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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Do 13.04.2006 | | Autor: | jonkal |
| Aufgabe | | x²-y² = x+y Für welche x und y gilt diese Gleichung? |
Hi,
wir haben in einer Mathearbeit (8. Klasse) zu Geraden und deren Funktionsgleichung folgende Aufgabe gestellt bekommen:
x²-y² = x+y
Für welche x und y gilt diese Gleichung?
Die Aufgabe konnte von uns keiner lösen, der Lehrer meinte nur, daß es mit binomischen Formeln zusammenhängt.
Sorry, daß ich keinen Lösungsansatz habe.
Schöne Ostern, jonkal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Do 13.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jonkal!
Das ist genau der richtige Hinweis mit  binomischer Formel ... und zwar der dritten:
Bringen wir zunächst alles auf eine Seite:
[mm] $\left(x^2-y^2\right) [/mm] - (x+y) \ = \ 0$
Nun wenden wir auf die linke Klammer die 3. binomische Formel rückwärts an:
$(x+y)*(x-y) - [mm] (x+y)\blue{*1} [/mm] \ = \ 0$
Nun klammern wir den Term $(x+y)_$ aus:
$(x+y)*[(x-y)-1] \ = \ (x+y)*(x-y-1) \ = \ 0$
Nun haben wir hier ein Produkt, das als Ergebnis Null hat. Und ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich Null wird. Also:
$x+y \ = \ 0$ oder $x-y-1 \ = \ 0$
Schaffst Du nun den Rest (z.B. jeweils nach $x \ = \ ...$ umstellen) selber?
Gruß
Loddar
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Hallo jonkal!!
...und einen wunderschönen guten Tag!!!
Aufgabe:
Man finde alle reellen Zahlen [mm]x,y[/mm], so das gilt:
[mm]x²-y²=x+y[/mm]
Lösung:
Loddar hat dir ja schon einen prima Tipp gegeben: Du formst deine Gleichung
[mm]x²-y²=x+y[/mm]
folgendermaßen um. Dabei faktorisierst du zuerst die linke Seite der Gleichung mit der 3. Binomischen Formel.
[mm](x+y)*(x-y)=x+y[/mm]
Nun subtrahierst du [mm]x+y=(x+y)[/mm]
[mm](x+y)*(x-y)-(x+y)=0[/mm]
Als nächstes klammerst du am besten [mm](x+y)[/mm] aus und erhälst
[mm](x+y)*\left[(x-y)-1\right]=0[/mm]
Nun kommt das Prinzip des Nullprodukts zum Tragen.
Das Produkt wird Null, wenn entweder der Ausdruck
[mm](x+y)[/mm]
oder der Ausdruck
[mm]\left[(x-y)-1\right][/mm]
oder auch beide
den Wert [mm]0[/mm] haben.
Folglich müssen alle reellen Zahlen [mm]x,y[/mm], welche entweder
[mm](x+y)=x+y=0[/mm]
oder
[mm]\left[(x-y)-1\right]=x-y-1=0[/mm]
erfüllen, Lösungen sein.
So weit ganz verstädnlich, aber... da kommt doch die Frage auf: Was hat das mit deinem Thema Geraden und ihre Funktionsgleichungen zu tuhen?
Ganz easy!
Um die Lösung zu bestimmten könne wir nun schreiben
[mm](x+y)=x+y=0[/mm]
und
[mm]\left[(x-y)-1\right]=x-y-1=0[/mm].
Genau diese beiden Gleichungen lassen sich aber nach [mm]y[/mm] umformen. Man erhält zwei lineare Funktionen. Also folgende:
[mm]y_1=-x[/mm]
und
[mm]y_2=x-1[/mm].
Du könntest sie also in ein Koordinatensystem zeichnen; alle Punkt auf der der einen oder der anderen Geraden sind dann Lösungen.
Du kannst also als Lösungen folgendes angeben:
[mm]L=x,y|\left\{ y=-x \right\}[/mm] / [mm]L=x,y|\left\{ y=x-1 \right\}[/mm]
Ich hoffe, dass ich ein wenig helfen konnte, wenn noch Fragen offen sein sollten, einfach fragen!
Mit freundlichen Grüßen
Goldener Schnitt
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