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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 07.11.2010 | | Autor: | hansmuff |
| Aufgabe | | Sei M [mm] \subset \IR [/mm] eine nach oben beschränkte, nicht leere Menge. Es existiert eine Folge [mm] (a_n) [/mm] von Elementen in M welche gegen sup(M) konvergiert. |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage wie ich diesen Satz beweise.
Aufgrund des Vollständigkeitsaxioms besitzt die Menge M ein Supremum und ein Infimum.
Definiere sup(M)=:s.
Gesucht ist also eine Folge [mm] (a_n ,n\in \IN) [/mm] für die gilt:
[mm] lim(n->\infty\ ,a_n)=s [/mm]
[mm] \forall\ \epsilon>0: \exists\ a\in\ [/mm] M: max{ [mm] a_{n-1}, [/mm] s - [mm] \frac{1}{n})} [/mm] < [mm] a_n [/mm] <= s.
In der Menge [mm] \{y|s-\epsilon<=y<=s\} [/mm] ist sicher ein Element meiner Folge enthalten, denn andernfalls wären alle Folgenglieder [mm] a_n<=s-\epsilon [/mm] und s wäre nicht die kleinste obere Schranke.
Wähle ein [mm] a_0\in [/mm] M beliebig. Falls [mm] a_n=s [/mm] wähle [mm] a_{n+1}=s. [/mm] Falls jedoch [mm] a_n
Meine Frage:
Wie kommt man auf "max( [mm] a_{n-1}, [/mm] s - [mm] \frac{1}{n})"? [/mm] Das verstehe ich nicht.
Danke für die Hilfe.
Lg, hansmuff
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Huhu,
> Aufgrund des Vollständigkeitsaxioms besitzt die Menge M
> ein Supremum und ein Infimum.
nein, die Menge muss kein Infimum haben.
Was das Max da macht, ist mir auch nicht so ganz klar.
Das liegt entweder daran, dass du es komisch aufgeschrieben hast oder es ungenau bewiesen wurde.
Hast du denn die Idee hinter dem Beweis verstanden, wie man eine solche Folge konstruiert über die Definition des Supremums?
MFG,
Gono
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