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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mi 30.03.2005 | | Autor: | gem |
Hallo,
folgendes Problem. Bald ist es soweit und ich schreibe meine letzte Mathe Klausur. Seit langer Zeit setzte ich mich immer noch einmal mit ein paar Freunden hin um zu lernen. Dies wollen wir wieder machen jedoch haben wir ein Problem. Aufgaben habe ich schon rausgesucht nur leider habe ich keine Lösungen für diese Aufgaben. Darum wollte ich euch bitten, ob ihr mir zu folgenden Aufgaben die Lösungen sagen könntet, damit wir in unserer lerngruppe überprüfen können,ob wir auch richtig gerechnet haben, ansonsten bringt uns das ja nichts.
Ok hier einmal die Aufgaben die wir rechnen wollen
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Gib zur Funktion f jeweils f´ und f´´ an. Fasse gegebenfalls zusammen (z.T. mit Kettenregel)
a) f(x) = [mm] e^{-x}+x-1
[/mm]
b) f(k) = [mm] e^{x-4}-4x
[/mm]
c) f(x) = [mm] x^{-x}- \bruch{1}{3}x²+0,3x
[/mm]
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Nun die fieseren Aufgaben
e) f(x)= [mm] (e^{x}-1)²+(e^{x}+1)²
[/mm]
h) f(x) = [mm] (e^{x}-5) [/mm] hoch 6 (weiß nicht wie man das mit den zeichen unten hinbekommt das hoch 6)
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Bestimme f´und f´´
a) f(x)= [mm] 4^{x}
[/mm]
b) f(x) = [mm] 0,25^{x}
[/mm]
c) f(x) = ( [mm] \wurzel[n]{2}) [/mm] hoch 2x
und hier auch wieder die fieseren Aufgaben
a) f(x) = x* [mm] e^{x}
[/mm]
b) f(x) = [mm] x*e^{-x}
[/mm]
c) f(x) = [mm] (2-x)*e^{x}
[/mm]
e) f(x) = [mm] (x²-2x+3)*e^{-x}
[/mm]
g) f(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
--------- (Bruchstrich)
[mm] 1+e^{x}
[/mm]
h) f(x)= 1
--------
[mm] 1+e^{x}
[/mm]
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Emittle zu folgenden Funktionen f jeweils eine Stammfunktion F
a) f(x) [mm] =3e^{2x+1}
[/mm]
b) f(x) = [mm] 2e^{-x+1}
[/mm]
c) f(x) = [mm] 3e^{x}-5
[/mm]
---------------------------------------------------------------------------
Nun wieder die fieseren Beispiele
e) f(x)= [mm] e^{4x-5}
[/mm]
f) f(x) = [mm] e^{x}+e^{-x}
[/mm]
----------------------------
2
h) f(x) = [mm] (e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x})²
[/mm]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Berechne
a) [mm] \integral_{0}^{5} {f(e^{x}) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-1}^{2} {f(4e^{4x}) dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{1}^{3} {f(2e^{3x}) dx}
[/mm]
.........................................................................................................................................................
Wie immer gibt es auch hier fiese Beispiele
h) [mm] \integral_{2}^{6} {f(e^{x}+x²-x³) dx}
[/mm]
j) [mm] \integral_{0}^{1} {f((e^{x})-1)² dx}
[/mm]
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Berechne f´
a) f(x) = ln(x+1)+ln(x-1)
b) f(x) = ln(x²)+ ln( [mm] \bruch{1}{x})-ln(2x)
[/mm]
d) f(x) = x*ln(x)
..................................................................................................................................................................
Die fieseren Beispiele
f) f(x)= ln(x)
---------
x
g) f(x)= (ln x )²
k) f(x)= ln( { [mm] x^{e}}+3)
[/mm]
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Bestimme zur Funktion f jeweils eine Stammfunktion F
a) f(x)= [mm] \bruch{3}{x}- \bruch{2}{x²}+ \bruch{1}{x-1}
[/mm]
b) f(x)= [mm] \bruch{1-x-x²- x^{4}}{2x²}
[/mm]
d) f(x) = [mm] \bruch{2}{x}- \bruch{3}{x+1}
[/mm]
...............................................................................................................................................................
die fieseren Beispiele
i) f(x) = [mm] \bruch{-2x}{1-x²}
[/mm]
j) f(x) = [mm] \bruch{6x}{3x²+1}
[/mm]
k) f(x) = [mm] \bruch{e^{x}}{e^{x}+1}
[/mm]
..................................................................................................................................................................
Berechne
a) f(x)= [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] {f( [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] dx}
b) f(x) = [mm] \integral_{1}^{2} [/mm] {f( [mm] \bruch{2}{x+1}) [/mm] dx}
.....................................................................................................................................................................
und auch hier noch einmal die fiesen Beispiele
e) f(x)= [mm] \integral_{1}^{2} [/mm] {f( [mm] \bruch{5}{x+2}- \bruch{1}{2x}/) [/mm] dx}
h) f(x)= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f( [mm] \bruch{x+1}{x+2}) [/mm] dx}
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ok das sollte erst einmal reichen. Wie ihr seht haben wir uns was vorgenommen. Ich bitte auch um Verständnis, dass hier nur die Aufgaben stehen und keine Lösungsansetzte, aberdeswegen machen wir ja die lerngruppe um gemeinsam zu schauen was wir können und was nicht und es ist ziemlich frustierend etwas zu rechnen und dann nicht zu wissen ob es richtig ist, deshalb eben die Bitte um die Ergebnisse.
Ich bedanke mich schon einmal im Vorraus bei euch
gruß
paul
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gem!
Das sind aber seeehr viele Aufgaben. Mal sehen, ob ich dir für alle eine Lösung geben kann...
Ansonsten - falls hier kein anderer mehr hilft - könntet ihr auch im Nachhinein eure Lösungen posten, bzw. während ihr am Lernen seid, dann können wir euch dann sagen, ob's richtig ist.
Da ihr ja selber rechnen wollt, gibt's von mir nur die Lösungen ohne Rechenweg - hab' die Aufgaben mal meinen Computer rechnen lassen. 
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> Gib zur Funktion f jeweils f´ und f´´ an. Fasse
> gegebenfalls zusammen (z.T. mit Kettenregel)
>
> a) f(x) = [mm]e^{-x}+x-1[/mm]
f'(x)= [mm] -e^{-x}+1
[/mm]
f''(x)= [mm] e^{-x}
[/mm]
> b) f(k) = [mm]e^{x-4}-4x[/mm]
f'(x)= [mm] -e^{-x}+1
[/mm]
f''(x)= [mm] e^{-x}
[/mm]
> c) f(x) = [mm]x^{-x}- \bruch{1}{3}x²+0,3x[/mm]
f'(x)= -ln x [mm] x^{-x}-x^{-x}-\bruch{2}{3}x+\bruch{3}{10}
[/mm]
f''(x)= [mm] -\bruch{1}{x}x^{-x}+(ln x)^2x^{-x}+2ln [/mm] x [mm] x^{-x}+x^{-x}-\bruch{2}{3}
[/mm]
> --------------------------------------------------------------------------------------
> Nun die fieseren Aufgaben
>
> e) f(x)= [mm](e^{x}-1)²+(e^{x}+1)²[/mm]
f'(x)= 4e^2x
f''(x)= 8e^2x
> h) f(x) = [mm](e^{x}-5)[/mm] hoch 6 (weiß nicht wie man das mit den
> zeichen unten hinbekommt das hoch 6)
Na, ganz einfach. Du tippst nach der Klammer einfach das "^"-Zeichen und dann deine 6. Wenn du mehr als eine Ziffer im Exponenten haben willst, musst du um den Exponenten noch eine geschweifte Klammer machen: [mm] \{6\}
[/mm]
f'(x)= [mm] 6e^{6x}-150e^{5x}+1500e^{4x}-7500e^{3x}+18750e^{2x}-18750e^{x}
[/mm]
f''(x)= [mm] 36e^{6x}-750e^{5x}+6000e^{4x}-22500e^{3x}+37500e^{2x}-18750e^{x}
[/mm]
Okay, ich würd sagen, ich lasse die nächsten jetzt erstmal, das ist mir im Moment etwas mühsam, alles hier zu tippen (du hast dir da ja wirklich viel Arbeit mit gemacht!). Ich mache mal bei den Stammfunktionen weiter. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Emittle zu folgenden Funktionen f jeweils eine
> Stammfunktion F
>
> a) f(x) [mm]=3e^{2x+1}[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{3}{2}e^{2x+1}+C
[/mm]
> b) f(x) = [mm]2e^{-x+1}[/mm]
F(x)= [mm] -2e^{-x+1}+C
[/mm]
> c) f(x) = [mm]3e^{x}-5[/mm]
F(x)= [mm] 3e^{x}-5x+C
[/mm]
> ---------------------------------------------------------------------------
> Nun wieder die fieseren Beispiele
>
> e) f(x)= [mm]e^{4x-5}[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{1}{4}e^{4x-5}+C
[/mm]
> f) f(x) = [mm]e^{x}+e^{-x}[/mm]
> ----------------------------
> 2
Soll das folgendes bedeuten: [mm] f(x)\bruch{e^x+e^{-x}}{2}?
[/mm]
Probier's doch mal wie vorhin auch schon einfach mit Klammern bei Zähler und Nennder! 
Dafür kennt mein Computer allerdings leider keine Stammfunktion und ich habe im Moment keine Lust, mir darüber Gedanken zu machen. Und wenn mein Computer das schon nicht kann, weiß ich meistens eh nicht weiter...
> h) f(x) = [mm](e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x})²[/mm]
Auch hier kann ich dir im Moment keine Lösung geben...
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So, den Rest lasse ich dann jetzt mal weg - muss noch was anderes machen.
Aber ich wünsche euch schon mal viel Erfolg beim Lernen und bei der Klausur!
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Keine Gewähr für evtl. Tippfehler...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
h) [mm]f(x) = (e^{x}-5)^6[/mm]
Ihr solltet bei dieser Ableitung die  Kettenregel verwenden, damit spart Ihr Euch eine ganze Menge Schreibarbeit und schaltet so einige Fehlerquellen aus.
Damit wird auch:
$f'(x) \ = \ [mm] 6e^x [/mm] * [mm] \left(e^x - 5\right)^5$
[/mm]
$f''(x) \ = \ [mm] 6e^x [/mm] * [mm] \left(e^x - 5\right)^4 [/mm] * [mm] \left(6e^x - 5\right)$
[/mm]
Ausmultipliziert sollte natürlich dasselbe herauskommen wie bei Bastiane ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 30.03.2005 | | Autor: | mat84 |
> Emittle zu folgenden Funktionen f jeweils eine
> Stammfunktion F
> f) f(x) = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm]
Einfacher so:
[mm] f(x) = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} = \bruch{1}{2}*{e^x}+\bruch{1}{2}*e^{-x} [/mm]
[mm] F(x) = \bruch{1}{2}*e^x + \bruch{1}{2}*e^{-x} + C [/mm]
> h) f(x) = [mm](e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x})²[/mm]
Einfcaher: [mm] f(x) = (e^{x} + e^{-x})^2 = e^^*e^x + 2*e^x*e^{-x} + e^{-x}*e^{-x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x} [/mm]
[mm] F(x) = \bruch{1}{2}*e^{2x} + 2x - \bruch{1}{2}*e^{-2x} + C [/mm]
> Berechne f´
>
> a) f(x) = ln(x+1)+ln(x-1)
[mm] f(x) = \bruch{1}{x+1} + \bruch{1}{x-1} = \bruch{2x}{x^2+1} [/mm]
> b) f(x) = ln(x²)+ ln( [mm]\bruch{1}{x})-ln(2x)[/mm]
[mm] f'(x) = 2x*\bruch{1}{x^2} - \bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{\bruch{1}{x}} - \bruch{2}{2x} = 0 [/mm]
Sieht man auch daran, dass
[mm] f(x) = ln(x²)+ ln(\bruch{1}{x})-ln(2x) = 2lnx + ln1 - lnx - ln2 - lnx = ln2 [/mm]
> d) f(x) = x*ln(x)
[mm] f'(x) = lnx + 1 [/mm]
> Die fieseren Beispiele
>
> f) f(x)= [mm] \bruch{lnx}{x} [/mm]
[mm] f'(x) = \bruch{x*\bruch{1}{x}-lnx}{x^2} = \bruch{1-lnx}{x^2} [/mm]
> g) f(x)= (ln x )²
[mm] f'(x) = \bruch{1}{x}*2lnx [/mm]
> k) f(x)= ln([mm]x^{e}+3)[/mm]
Sicher, dass du [mm] [mm] x^{e} [/mm] und nicht [mm] e^x [/mm] meinst?
[mm] f(x) = ln(x^{e}+3) = ln(e^{e*lnx}+3) [/mm]
[mm] f'(x) = e*e^{e*lnx}*\bruch{1}{e^{e*lnx}+3} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 30.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist glaub ich der Rest!
Nun rechnet mit viel Erfolg.
Wenn ihr noch mehr braucht, mach mehrere Fragen draus, dann ist einfacher antworten!
> Bestimme zur Funktion f jeweils eine Stammfunktion F
>
> a) f(x)= [mm]\bruch{3}{x}- \bruch{2}{x²}+ \bruch{1}{x-1}[/mm]
[mm] F(x)=3*lnx+\bruch{2}{x}+ln(x-1)+C
[/mm]
> b)
> f(x)= [mm]\bruch{1-x-x²- x^{4}}{2x²}[/mm]
F(x)=- [mm] \bruch{1}{2x}- \bruch{1}{2}*lnx [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x- \bruch{x^{3}}{6}+C
[/mm]
> d) f(x) = [mm]\bruch{2}{x}- \bruch{3}{x+1}[/mm]
F(x) = 2*lnx-3*ln(x+1) +C
>
> ...............................................................................................................................................................
>
> die fieseren Beispiele
Nein, besonders einfach!
> i) f(x) = [mm]\bruch{-2x}{1-x²}[/mm]
[mm] F(x)=ln(1-x^{2})+C
[/mm]
> j) f(x) = [mm]\bruch{6x}{3x²+1}[/mm]
[mm] F(x)=ln(3x^{2}+1)+C
[/mm]
> k) f(x) = [mm]\bruch{e^{x}}{e^{x}+1}[/mm]
[mm] F(x)=ln(e^{x}+1)+C
[/mm]
>
> ..................................................................................................................................................................
>
> Berechne
Hier müsst ihr was falsch aufgeschrieben haben.
1. ein bestimmtes Integral ist keine Funktion von x.
2. wenn unter dem Integral ein unbekanntes f steht kann man nichts rechnen.
Ich denke mal die Aufgabe ist: berechne [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] {f(x) dx}
mit f(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
unter dieser Vorraussetzung geb ich die Lösungen!! Sonst fragt noch mal!
> a) f(x)= [mm]\integral_{1}^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f( [mm]\bruch{1}{x})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
\integral_{1}^{3} {f(x) dx}=ln3
> b)
>f(x) = [mm]\integral_{1}^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f( [mm]\bruch{2}{x+1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
\integral_{1}^{2} {f(x) dx}=2(ln3-ln2)
.....................................................................................................................................................................
>
> und auch hier noch einmal die fiesen Beispiele
siehe oben
>
> e) f(x)=
[mm]\integral_{1}^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f( [mm]\bruch{5}{x+2}\bruch{1}{2x}/)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
\integral_{1}^{2} {f(x) dx}=5ln4-5ln3-0.5ln2
> h) f(x)=
[mm]\integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f( [mm]\bruch{x+1}{x+2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
\integral_{1}^{2} {f(x) dx}=3-ln3-2+ln2
Viel Spass und lasst mal hören wie es ging!
Gruss leduart
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