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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo,
ich habe bei folgender Aufgabe in Algebra ein großes Problem:
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Vor.: G Gruppe, N Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) N ist Normalteiler von G und G/N ist abelsch
(ii) G ist Untergruppe von N
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Ich weiß was was bedeutet, achja und G ist die Kommutatorengruppe, also G = [mm] <{f^{-1}g^{-1}fg | f,g \in G}>
[/mm]
Leider hab ich überhaupt keinen Ansatz, ich weiß, dass G (durch langes Durchblättern des Skriptes... :-( ) Normalteiler von G ist, also gilt ja gG = Gg für alle g \ in G allerdings bringt mich das nicht weiter. Ich wollte zuerst von ii nach i gehen, hab aber dann gemerkt, dass ich G nicht in Verbindung mit G/N bringen kann, weil ich zeigen wollte, dass G/N abelsch G/N ist ja {gN | g [mm] \in [/mm] G}, naja das bringt mich auch nicht weiter...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, damit ich diese Aufgabe hinbekomme :-( Sitze schon seit Stunden an den Algebraübungen :-(
Viele liebe Grüße
Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Di 27.11.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Jana!
> ---------------------------
> Vor.: G Gruppe, N Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> (i) N ist Normalteiler von G und G/N ist abelsch
> (ii) G ist Untergruppe von N
> ---------------------------
>
> Ich weiß was was bedeutet, achja und G ist die
> Kommutatorengruppe, also G = [mm]<{f^{-1}g^{-1}fg | f,g \in G}>[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Leider hab ich überhaupt keinen Ansatz, ich weiß, dass G
> (durch langes Durchblättern des Skriptes... :-( )
> Normalteiler von G ist, also gilt ja gG = Gg für alle g \
> in G allerdings bringt mich das nicht weiter. Ich wollte
> zuerst von ii nach i gehen, hab aber dann gemerkt, dass ich
> G nicht in Verbindung mit G/N bringen kann, weil ich
> zeigen wollte, dass G/N abelsch G/N ist ja {gN | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G},
> naja das bringt mich auch nicht weiter...
Wenn G/N abelsch ist, ist doch (fN)(gN) = (gN)(fN) oder fgN = gfN oder f^{-1}g^{-1}fg \in N für beliebige f und g \in G, also G' \subset N.
Die Umkehrung folgt z. B. aus dem Isomorphiesatz G/N \cong (G/G')/(N/G'), da G/G' abelsch ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 27.11.2007 | | Autor: | Jana85 |
Vielen Dank,
hab die eine Richtung nun verstanden, nur die andere Richtung ist mir immer noch ein Rätsel, weil wir bei uns noch nicht den Isomorphiesatz bzw. Homomorphiesatz hatten... Kann man dies nicht anders machen?
LG
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Mi 28.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Jana
> hab die eine Richtung nun verstanden, nur die andere
> Richtung ist mir immer noch ein Rätsel, weil wir bei uns
> noch nicht den Isomorphiesatz bzw. Homomorphiesatz
> hatten... Kann man dies nicht anders machen?
Ja, und zwar genauso wie die andere Richtung: ist $G' [mm] \subseteq [/mm] N$, und sind $a N, b N [mm] \in [/mm] G/N$, so ist $(a N) (b N) = (b N) (a N) [mm] \Leftrightarrow [/mm] a b [mm] a^{-1} b^{-1} \in [/mm] N$, und das gilt da $G' [mm] \subseteq [/mm] N$ ist.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:26 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo, gut, dann hab ich die Kommutativität.
Ich brauche ja noch, dass N NOrmalteiler ist. Ich hab mir überlegt, dass ich dann einfach b=1 setze und die Kommutativität ausnutze, allerdings stört mich da ein N:
b=1
=> $ (aN)(bN) = (aN)N = (bN)(aN) = (Na)N $
Ich hab ja jetzt (aN)N = (Na)N
Dies sieht ja jetzt schon ziemlich genau nach dem NOrmalteilerkriterium aN = Na aus... allerdings ströt das letzte N noch ein wenig. Kann ich dies einfach so "wegmachen"? oder muss ich noch irgendeinen SChritt dazwischen basteln?
LG
Jana
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 09:31 Do 29.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Jana!
> Hallo, gut, dann hab ich die Kommutativität.
>
> Ich brauche ja noch, dass N NOrmalteiler ist.
Eben! Dazu müßte ja aus G' [mm] \subset [/mm] N folgen, daß N Normalteiler ist. Das scheint mir aber gar nicht so klar, ich habe aber auch auf die Schnelle kein Gegenbeispiel gefunden.
Richtig ist die Behauptung auf jeden Fall in der Form: Sei G eine Gruppe und N [mm] \subset [/mm] G ein Normalteiler. Dann gilt G/N abelsch [mm] \gdw [/mm] G' [mm] \subset [/mm] N.
Ein ausgebuffter Gruppentheoretiker weiß da vielleicht mehr. Ich versuche mal, dieses hier in eine Umfrage zu verwandeln.
Gruß aus HH-Eimsbüttel
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Do 29.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter
> > Hallo, gut, dann hab ich die Kommutativität.
> >
> > Ich brauche ja noch, dass N NOrmalteiler ist.
>
> Eben! Dazu müßte ja aus G' [mm]\subset[/mm] N folgen, daß N
> Normalteiler ist. Das scheint mir aber gar nicht so klar,
> ich habe aber auch auf die Schnelle kein Gegenbeispiel
> gefunden.
Die Aussage stimmt, und sie ist sogar gar nicht so schwer zu beweisen 
Erstmal etwas allgemeiner: wenn man eine Gruppe $G$ und einen Normalteiler $N$ hat, so gibt es eine Bijektion [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \{ U \subseteq G \mid U \text{ Untergruppe, } N \subseteq U \} \to \{ U' \subseteq G/N \mid U' \text{ Untergruppe } \}$, [/mm] $U [mm] \mapsto [/mm] U/N$, und es gilt, dass eine Untergruppe $U$ mit $N [mm] \subseteq [/mm] U$ genau dann ein Normalteiler ist, wenn [mm] $\varphi(U) [/mm] = U/N$ ein Normalteiler in $G/N$ ist.
Hier ist $N = G'$, und $G/N = G/G'$ ist abelsch, womit jede Untergruppe in $G/N$ ein Normalteiler ist. Folglich ist jede Untergruppe von $G$, die $G'$ enthaelt, bereits ein Normalteiler!
LG Felix
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