Hessische Normalform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Sa 24.11.2007 | | Autor: | versager |
Hallo,
ich schreibe am Montag eine Mathearbeit und bin gerade am lernen.
Ich verstehe leider die Hessische Normalform nicht. ich verstehe wie man den Abstand von Ebene und Ursprung ausrechnet, aber ich versteh den Hintergrund nicht.
Vielleicht kann mir hier jemand einen Einblick geben.
Danke
( vielleicht mit einer Skizze )
danke
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ich bin mir nicht sicher, warum der Normalvektor auf die länge 1 bestimmt wird.
Es müsste doch ein Vektor sein, der durch den Usprung und dann durch den Lotfußpunkt geht -> erst dann wäre es doch die kürzeste Distanz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 27.11.2007 | | Autor: | mathemak |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Von der Normalform einer Ebene
$\vev{n} \cdot (\vec{x} - \vec{a}=0$
kommt man zur Hesseschen Normalform, indem man durch den Betrag des Vektors $\vec{n}$ teilt.
$\bruch{1}{|\vec{n}|} \vev{n} \cdot (\vec{x} - \vec{a})=0$
Die Ebene ist eindeutig festgelegt durch den Aufpunkt A und den Vektor
$\bruch{nj}{|\vec{n}|}$.
Der Pfeil zu diesem Vektor zeigt von der Ebene weg und hat die Länge 1, man sagt, der Vektor ist normiert; was man unter anderem so andeuten kann
$\vec{n}\,^0 = \bruch{nj}{|\vec{n}|}$.
Der Vektor hat nichts mit dem Ursprung und dem Aufpunkt zu tun. Dafür hast Du den Stützvektor $\vec{a}$.
Wichtig wird die Hessesche Normalform für Abstandsberechnungen. Abstand Ebene Ursprung, Abstand bel. Punkt Ursprung
$E: \; \bruch{x_1 + x_2 + x_3 - 5}{\sqrt{3}} = 0$. (BEISPIEL)
Ist auch eine Möglichkeit, die Hessesche Normalform zu schreiben.
Hast Du einen bel. Punkt P$(p_1 \; | \; p_2 \; | \; p_3)$ so errechnet sich der Abstand $d$ von P zur Ebene $E$ durch
$d(P;E) = \left| \bruch{p_1 + p_2 + p_3 - 5}{\sqrt{3}}} \right| $
Ach ja, bei der Berechnung von Winkelhalbierenden bei Ebenen kann man die Hessesche Normalform auch brauchen.
Gruß
Mathemak
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http://www.mevis-research.de/~albers/Veranstaltungen/DidaLinAlg06/Material/ReferaLagebeziehung.ppt
