Hesse-Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
um zu überprüfen, ob die Hesse-Matrix positiv definit ist, kann ich folgende Kriterien überprüfen:
- alle Hauptunterabschnittsdeterminanten positiv?
- alle Eigenwerte positiv?
- quadratische Form [mm] x^{t}Ax [/mm] positiv?
Um zu überprüfen, ob sie negativ definit ist, überprüfe ich:
- (-A) positiv definit?
- [mm] ((-1)^k [/mm] det A) positiv?
In der Analysis könnte ich nun auf die Existenz von Extrema schließen. Was kann ich damit in der linearen Algebra anfangen?
Ist eine Hesse-Matrix diagonalisierbar, da jede symmetrische Matrix diagonalisierbar ist?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Mo 13.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
also zumindest habe ich herausgefunden, daß jede symmetrische Matrix diagonalisierbar ist und somit auch die Hesse-Matrix, weil diese nach dem Satz von Schwarz symmetrisch ist.
Zur Anwendung in der Linearen Algebra habe ich immer noch nichts gefunden... Habt Ihr noch eine Idee?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
Nun, wir könnten ja das Kriterium über die Hesse-Matrix mal auf die quadratische Form
$f(x) = [mm] \langle [/mm] x,Ax [mm] \rangle$
[/mm]
für eine quadratische Matrix $A$ anwenden.
Es gilt:
$[grad(f)](x) = [mm] \left( 2 \sum\limits_{j=1}^n a_{1j}x_j, 2 \sum\limits_{j=1}^n a_{2j}x_j,\ldots , 2 \sum\limits_{j=1}^n a_{nj}x_j\right)$.
[/mm]
Man sieht: Ein kritischer Wert liegt bei [mm] $x=(0,0,\ldots,0)^T$.
[/mm]
Ist dies nun ein (lokales) Minimum oder Maximum oder gar nichts von beidem?
Bilden wir doch mal die Hesse-Matrix. Es gilt:
[mm] $([Hess(f)](x))_{i,j} [/mm] = [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(x) [/mm] = [mm] 2a_{ij}$.
[/mm]
Daraus folgt:
$Hess(f) = 2A$,
und $Hess(f)$ ist genau dann positiv definit, wenn $A$ dies ist.
Man sieht die Beziehung zu unserem bekannten LA-Kriterium:
Es gilt, falls $A$ symmetrisch und positiv definit ist:
[mm] $\langle [/mm] x,Ax [mm] \rangle [/mm] >0$ für alle $x [mm] \ne [/mm] 0$.
Beachte allerdings: Letzteres ist ein globales (und scharfes) Kriterium, während man bei dem obigem analytischen Kriterium (über die Hesse-Matrix) nur auf [mm] $\langle x,Ax\rangle \red{\ge 0}$ [/mm] zunächst mal nur in einer Umgebung von [mm] $\red{0}$ [/mm] folgern konnte.
Die Analysis bestärkt hier also nur unser LA-Resultat, liefert aber (zunächst einmal) nur ein schwächeres Ergebnis.
Liebe Grüße
Julius
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