Hesse-Form umrechnen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:04 Sa 24.01.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | [mm] E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}*(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}
[/mm]
Rechne die Ebene [mm] E_1 [/mm] in die [mm]\{\vec{r},\vec{s}\}[/mm]-Form um.
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hallo,
[mm] \vec{s} [/mm] kann ich ausrechnen, indem ich [mm] \vec{x}-\vec{a} [/mm] ausrechne.
allerdings weiß ich ja gar nicht was [mm] \vec{x} [/mm] ist.
[mm] \vektor{1\\1\\0}*(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow x_1=0; x_2=0; x_3=0
[/mm]
für [mm] \vec{r} [/mm] habe ich keine idee.
gruß, dic
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Hi, dicentra,
> [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}*(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> Rechne die Ebene [mm]E_1[/mm] in die [mm]\{\vec{r},\vec{s}\}[/mm]-Form um.
Dazu hätt' ich erst mal 2 Fragen:
(1) Du schreibst als Überschrift (Diskussionsthema): "Hesse-Form umrechnen".
Wo ist denn hier die Hesse-Form?
Gegeben ist eine ganz "normale" Normalenform!
(2) Was ist denn eine "[mm]\{\vec{r},\vec{s}\}[/mm]-Form"?
Davon hab' ich noch nie was gehört!
Meinst Du eventuell die "Parameterform"?
Also: Ich geh' mal einfach davon aus, dass Du die oben gegebene Normalenform in eine Parameterform umwandeln sollst.
> [mm]\vec{s}[/mm] kann ich ausrechnen, indem ich [mm]\vec{x}-\vec{a}[/mm] ausrechne.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> allerdings weiß ich ja gar nicht was [mm]\vec{x}[/mm] ist.
Sozusagen "der variable Punkt", der in der Ebene liegt.
> [mm]\vektor{1\\1\\0}*(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})=[/mm] 0
>
> [mm]\Rightarrow x_1=0; x_2=0; x_3=0[/mm]
Dieser Punkt, also B(0; 0; 0), liegt tatsächlich in der Ebene:
Zufall?
Oder hast Du ihn wirklich "logisch ermittelt"?
Auf jeden Fall kannst Du nun den Vektor [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
als ersten Richtungsvektor verwenden.
> für [mm]\vec{r}[/mm] habe ich keine idee.
Naja: Einen zweiten Richtungsvektor kriegst Du z.B. durch die Überlegung, dass er auf dem gegebenen Normalenvektor [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] senkrecht stehen muss. Das heißt natürlich auch, dass das Skalarprodukt =0 ist.
Wie man einen solchen Vektor kriegt, hast Du sicher gelernt:
- Eine der Koordinaten des Normalenvektors =0 setzen,
- die beiden anderen Koordinaten vertauschen und
- bei einer von beiden das Vorzeichen wechseln.
Ich machs mal vor:
- Bei Deinem N-Vektor ist die 3. Koordinate bereits =0; das behalte ich bei;
- dann tausche ich die 1. und die 2.Koordinate (was hier zufälliger Weise zu denselben Zahlen führt)
- und mache ein Minuszeichen zur 1.Koordinate dazu.
Ergebnis: [mm] \vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
Und den kannst Du nun als 2. Richtungsvektor hernehmen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 24.01.2009 | | Autor: | dicentra |
hallo zwerglein,
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe mal das, was ich im heft gemacht habe, hochgeladen.
somit können wir vom selben sprechen. 
> Hi, dicentra,
>
> > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}*(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > Rechne die Ebene [mm]E_1[/mm] in die [mm]\{\vec{r},\vec{s}\}[/mm]-Form um.
>
> Dazu hätt' ich erst mal 2 Fragen:
> (1) Du schreibst als Überschrift (Diskussionsthema):
> "Hesse-Form umrechnen".
> Wo ist denn hier die Hesse-Form?
> Gegeben ist eine ganz "normale" Normalenform!
> (2) Was ist denn eine "[mm]\{\vec{r},\vec{s}\}[/mm]-Form"?
> Davon hab' ich noch nie was gehört!
> Meinst Du eventuell die "Parameterform"?
>
> Also: Ich geh' mal einfach davon aus, dass Du die oben
> gegebene Normalenform in eine Parameterform umwandeln
> sollst.
>
> > [mm]\vec{s}[/mm] kann ich ausrechnen, indem ich [mm]\vec{x}-\vec{a}[/mm]
> ausrechne.
>
>
>
> > allerdings weiß ich ja gar nicht was [mm]\vec{x}[/mm] ist.
>
> Sozusagen "der variable Punkt", der in der Ebene liegt.
>
> > [mm]\vektor{1\\1\\0}*(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})=[/mm]
> 0
> >
> > [mm]\Rightarrow x_1=0; x_2=0; x_3=0[/mm]
>
> Dieser Punkt, also B(0; 0; 0), liegt tatsächlich in der
> Ebene:
> Zufall?
> Oder hast Du ihn wirklich "logisch ermittelt"?
naja, bei [mm] x_3 [/mm] war ich mir nicht sicher,
da es ja eigentlich alles sein kann, aufgrund des faktors 0.
> Auf jeden Fall kannst Du nun den Vektor [mm]\overrightarrow{BA}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> als ersten Richtungsvektor
> verwenden.
aber das ist doch der vektor, der vom ursprung auf einen punkt der ebene zeigt.
> > für [mm]\vec{r}[/mm] habe ich keine idee.
>
> Naja: Einen zweiten Richtungsvektor kriegst Du z.B. durch
> die Überlegung, dass er auf dem gegebenen Normalenvektor
> [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm] senkrecht stehen muss. Das heißt natürlich
> auch, dass das Skalarprodukt =0 ist.
> Wie man einen solchen Vektor kriegt, hast Du sicher
> gelernt:
nein, habe nichts dazu gefunden. wenn dann wüßte ich es wohl
> - Eine der Koordinaten des Normalenvektors =0 setzen,
> - die beiden anderen Koordinaten vertauschen und
> - bei einer von beiden das Vorzeichen wechseln.
>
> Ich machs mal vor:
> - Bei Deinem N-Vektor ist die 3. Koordinate bereits =0;
> das behalte ich bei;
> - dann tausche ich die 1. und die 2.Koordinate (was hier
> zufälliger Weise zu denselben Zahlen führt)
> - und mache ein Minuszeichen zur 1.Koordinate dazu.
ich könnte es auch vor die 2.koordinate machen?
>
> Ergebnis: [mm]\vektor{-1\\1\\0}[/mm]
>
> Und den kannst Du nun als 2. Richtungsvektor hernehmen!
>
> mfG!
> Zwerglein
grüße, dic
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, dicentra,
> > > [mm]\vektor{1\\1\\0}*(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})=[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow x_1=0; x_2=0; x_3=0[/mm]
Ich seh' schon, woran's hapert:
Du weißt nicht, wie man das Skalarprodukt berechnet!!!
[mm] \vektor{1\\1\\0}*(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})=0
[/mm]
Schon die Schreibweise mit dem "." gefällt mir nicht!
Üblicherweise schreibt man den Kreis [mm] ("\circ") [/mm] als Rechenzeichen:
[mm] \vektor{1\\1\\0}\red{\circ}(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})=0
[/mm]
Und nun erst mal ein einfacheres BeispieL:
[mm] \vektor{1\\2\\3}\circ \vektor{4\\5\\6}
[/mm]
= 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32.
Bei Deiner Aufgabe ergibt sich demach:
[mm] 1*x_{1} [/mm] + [mm] 1*x_{2} [/mm] + [mm] 0*(x_{3} [/mm] - 2) = 0
oder vereinfacht:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
Dass diese Gleichung als EINE Lösung von vielen
auch [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = 0 hat,
ist ZUFÄLLIG richtig,
aber sie hat noch unendlich viele weitere, denn JEDER PUNKT, der in der Ebene liegt, muss diese Gleichung erfüllen.
Dies tun z.B. folgende Punkte auch:
P(-1; 1; 4); Q(2; -2; 7); R(6; -6; -2); usw.
Im Zusammenhang mit Deiner Aufgabenstellung nutzt Dir das alles jedoch eher wenig!
Da solltest Du versuchen, den Gedankengang nachzuvollziehen, den ich Dir bei meiner 1.Antwort vorgeschlagen habe!
mfG!
Zwerglein
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Hi, dicentra,
nun gehe ich mal direkt auf Deine Fragen ein - egal, ob sie Dir helfen, die Aufgabe zu lösen oder nicht!
> > Meinst Du eventuell die "Parameterform"?
Wie ich an Deiner Zeichnung sehe, ist tatsächlich die "Parameterform" gemeint!
> > > [mm]\vec{s}[/mm] kann ich ausrechnen, indem ich [mm]\vec{x}-\vec{a}[/mm] ausrechne.
> > > allerdings weiß ich ja gar nicht was [mm]\vec{x}[/mm] ist.
> >
> > Sozusagen "der variable Punkt", der in der Ebene liegt.
Oder noch deutlicher: Nach dieser Methode brauchst Du halt (neben dem Aufpunkt A) noch weitere Punkte (B, C) aus der Ebene.
> > > [mm]\vektor{1\\1\\0}*(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vektor{0\\0\\2})=[/mm]
> > 0
> > >
> > > [mm]\Rightarrow x_1=0; x_2=0; x_3=0[/mm]
Darüber habe ich in meiner vorigen Antwort schon gesprochen.
Aber: Zufälligerweise hast Du damit ja doch einen Punkt aus der Ebene erwischt:
> > Dieser Punkt, also B(0; 0; 0), liegt tatsächlich in der
> > Ebene:
Übrigens: Da dies der Ursprung ist, weißt Du nun auch, dass die Ebene den Ursprung ENTHÄLT!!!
> naja, bei [mm]x_3[/mm] war ich mir nicht sicher,
> da es ja eigentlich alles sein kann, aufgrund des faktors 0.
Aus [mm] 0*x_{3} [/mm] folgt:
[mm] x_{3} [/mm] ist VÖLLIG beliebig.
Du hättest also auch z.B. [mm] x_{3} [/mm] = 5 wählen können und hättest damit einen dritten Punkt der Ebene gefunden: D(0;0;5).
(Übrigens: Der Punkt D hilft Dir für die Berechnung des 2.Richtungsvektors nicht weiter, da A, B und D auf einer Geraden liegen!)
> > Auf jeden Fall kannst Du nun den Vektor [mm]\overrightarrow{BA}[/mm]
> > = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> > als ersten Richtungsvektor verwenden.
> aber das ist doch der vektor, der vom ursprung auf einen
> punkt der ebene zeigt.
Stimmt! Und da (wie wir oben rausgekriegt haben) der Úrsprung auch in der Ebene drin liegt, ist dieser Vektor gleichzeitig Richtungsvektor der Ebene.
> > > für [mm]\vec{r}[/mm] habe ich keine idee.
> >
> > Naja: Einen zweiten Richtungsvektor kriegst Du z.B. durch
> > die Überlegung, dass er auf dem gegebenen Normalenvektor
> > [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm] senkrecht stehen muss. Das heißt natürlich
> > auch, dass das Skalarprodukt =0 ist.
>
> > Wie man einen solchen Vektor kriegt, hast Du sicher
> > gelernt:
> nein, habe nichts dazu gefunden. wenn dann wüßte ich es wohl
Macht nix: Die Methode, die ich Dir im Folgenden beschreibe, funktioniert eigentlich immer!
> > - Eine der Koordinaten des Normalenvektors =0 setzen,
> > - die beiden anderen Koordinaten vertauschen und
> > - bei einer von beiden das Vorzeichen wechseln.
> >
> > Ich machs mal vor:
> > - Bei Deinem N-Vektor ist die 3. Koordinate bereits =0;
> > das behalte ich bei;
> > - dann tausche ich die 1. und die 2.Koordinate (was hier
> > zufälliger Weise zu denselben Zahlen führt)
> > - und mache ein Minuszeichen zur 1.Koordinate dazu.
> ich könnte es auch vor die 2.koordinate machen?
Klaro! Wär' auch möglich!
> > Ergebnis: [mm]\vektor{-1\\1\\0}[/mm]
> >
> > Und den kannst Du nun als 2. Richtungsvektor hernehmen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:16 Di 03.03.2009 | | Autor: | dicentra |
nochmal zu dieser aufgabe.
ich soll [mm] E_1 [/mm] von der normalenform in die punkt-richtungs-form umrechnen.
[mm] E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2}) \}
[/mm]
ich habe das nun mal so gemacht:
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vec{n} [/mm] x [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-2\\0}
[/mm]
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vec{n} [/mm] x [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\-4}
[/mm]
[mm] E_1=\{\vec{x} | \vektor{0\\0\\2}+\lambda\vektor{2\\-2\\0}+\mu\vektor{0\\0\\-4} \}
[/mm]
nun die probe:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{r} [/mm] x [mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vektor{8\\8\\0}
[/mm]
[mm] E_1=\{\vec{x} | \vektor{8\\8\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}
[/mm]
hm... [mm] \vec{n} [/mm] sollte doch eigentlich [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] sein. was stimmt denn hier nicht?
gruß, dic
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Di 03.03.2009 | | Autor: | glie |
> nochmal zu dieser aufgabe.
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> ich soll [mm]E_1[/mm] von der normalenform in die
> punkt-richtungs-form umrechnen.
>
> [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2}) \}[/mm]
>
> ich habe das nun mal so gemacht:
>
> [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vec{n}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2\\-2\\0}[/mm]
Das kannst du aber nur machen, weil deine Ebene den Ursprung enthält und deshalb der Vektor [mm] \overrightarrow{a} [/mm] in der Ebene liegt. Hoffe das war dir klar.
>
> [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\vec{n}[/mm] x [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\-4}[/mm]
>
> [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{0\\0\\2}+\lambda\vektor{2\\-2\\0}+\mu\vektor{0\\0\\-4} \}[/mm]
>
>
> nun die probe:
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vec{r}[/mm] x [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\vektor{8\\8\\0}[/mm]
>
> [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{8\\8\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> hm... [mm]\vec{n}[/mm] sollte doch eigentlich [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm] sein.
> was stimmt denn hier nicht?
Das stimmt alles. Du musst dir nur klar machen, dass eine Ebene nicht DEN einen Normalenvektor hat.
Ist [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein Normalenvektor der Ebene, so ist auch jedes Vielfache dieses Vektors (sprich jeder zum vorgegebenen Normalenvektor linear abhängige Vektor) ebenfalls ein Normalenvektor der Ebene.
Gruß Glie
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> gruß, dic
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 Sa 07.03.2009 | | Autor: | dicentra |
> > nochmal zu dieser aufgabe.
> >
> > ich soll [mm]E_1[/mm] von der normalenform in die
> > punkt-richtungs-form umrechnen.
> >
> > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2}) \}[/mm]
>
> >
> > ich habe das nun mal so gemacht:
> >
> > [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vec{n}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2\\-2\\0}[/mm]
>
>
> Das kannst du aber nur machen, weil deine Ebene den
> Ursprung enthält und deshalb der Vektor [mm]\overrightarrow{a}[/mm]
> in der Ebene liegt. Hoffe das war dir klar.
nein, da habe ich nicht drüber nachgedacht.
wie sollte ich dann ein die aufgabe gehen, also was hätte ich prüfen müssen?
dic
>
> >
> > [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\vec{n}[/mm] x [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\-4}[/mm]
> >
> > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{0\\0\\2}+\lambda\vektor{2\\-2\\0}+\mu\vektor{0\\0\\-4} \}[/mm]
>
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> >
> > nun die probe:
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> > [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vec{r}[/mm] x [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\vektor{8\\8\\0}[/mm]
> >
> > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{8\\8\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
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> > hm... [mm]\vec{n}[/mm] sollte doch eigentlich [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm] sein.
> > was stimmt denn hier nicht?
>
> Das stimmt alles. Du musst dir nur klar machen, dass eine
> Ebene nicht DEN einen Normalenvektor hat.
> Ist [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ein Normalenvektor der Ebene, so
> ist auch jedes Vielfache dieses Vektors (sprich jeder zum
> vorgegebenen Normalenvektor linear abhängige Vektor)
> ebenfalls ein Normalenvektor der Ebene.
>
> Gruß Glie
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> >
> > gruß, dic
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> > > nochmal zu dieser aufgabe.
> > >
> > > ich soll [mm]E_1[/mm] von der normalenform in die
> > > punkt-richtungs-form umrechnen.
> > >
> > > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2}) \}[/mm]
>
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> > >
> > > ich habe das nun mal so gemacht:
> > >
> > > [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\vec{n}[/mm] x [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2\\-2\\0}[/mm]
> >
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> > Das kannst du aber nur machen, weil deine Ebene den
> > Ursprung enthält und deshalb der Vektor [mm]\overrightarrow{a}[/mm]
> > in der Ebene liegt. Hoffe das war dir klar.
>
> nein, da habe ich nicht drüber nachgedacht.
> wie sollte ich dann ein die aufgabe gehen, also was hätte
> ich prüfen müssen?
Hallo,
für diese Fragestellung suche Dir ausgehend vom Normalenvektor zwei dazu senkrechte Vektoren.
Ich mache Dir mal an einem Beispiel vor, wie man das hinbekommt:
[mm] \nec{n}=\vektor{1\\2\\3}, [/mm] angucken liefert als Richtungsvektor z.B. [mm] \qquad \vec{r_1}=\vektor{2\\-1\\0} [/mm] und [mm] \qquad \vec{r_2}=\vektor{3\\0\\-1}.
[/mm]
(Also: eine Komponente =0 setzen, die beiden anderen vertauschen und ein (!) Minuszeichen spendieren.)
Gruß v. Angela
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