Hermite-Beweis < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen sie:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{H_{2n}(x)e^{- \lambda x^2} dx}=\bruch{2n!}{n!}\wurzel{\bruch{\pi}{\lambda}}(\bruch{1-\lambda}{\lambda})^n [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe, irgendwie weiss ich nicht genau wie ich hier vorgehen soll.
ich habe versucht:
1:Partielle Integration unter Anwendung von Rekursionsformen: Hier habe ich das Problem dass ich [mm] e^{- \lambda x^2} [/mm] entweder sehr oft integrieren muss (schaff ich nicht) oder sehr oft ableiten muss (was mir irgendwie auch nicht weiterhilft)
[mm] 2:H_{2n}(x) [/mm] unter Anwendung der Hermite-Rodrigues Formel als:
[mm] (-1)^{2n} e^{x^2} \bruch{d^{2n}}{dx^{2n}}(e^{-x^2})
[/mm]
auszudruecken und dann die 2n-te Ableitund des Exponentialparts als Serie auszudruecken...
auch da komme ich zu nichts.
3:Letztlich ist mir aufgefallen, dass das Ergebnis auffallend aehnlich zur Ortogonalitaet der Hermite-Funktion ist. Als Erinnerung:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{H_m(x)H_n(x)e^{-x^2} dx}=\delta(m,n) 2^nn!\wurzel{\pi}
[/mm]
Nun dachte ich mir: Wenn ich es irgendwie schaffe, die Hermite-Generatorenfunktion in meinem Integral zu finden, dann koennte ich versuchen auf diese Form zu kommen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}H_{2n} A*(\summe_{k=0}^{\infty}{H_k(x)t^k})dx}, [/mm] wobei A eine Konstante ist.
Kaeme ich auf diese Form, wuerden aufgrund der Orthogonalitaet alle Terme der Summe bis auf den Term "k = 2n" verschwinden, und der Term "k=2n" selbst waere einfach auszuwerten.
Allerdings krieg ich das nicht hin. Ich finde nichts, was ich als Generatorenfunktion verwenden koennte. Ich kann zwar: [mm] e^{-\lambda x^2} [/mm] umformen zu [mm] e^{-x^2}e^{x^2-\lambda x^2}, [/mm] wodurch ich mein (noetiges) [mm] e^{-x^2} [/mm] erhalten wuerde, aber das [mm] e^{x^2-\lambda x^2} [/mm] kann ich nicht als Generatorenfunktion umformen.
Dieser letzte Ansatz scheint mir am vielversprechensten zu sein, allerdings komme ich damit auch nicht weiter. Hat jemand eine Idee?
|
|
| |
|
Hallo Leute,
Hat sich erledigt! Ich habs geloest. Wenn es euch interessiert: Es ging ueber die explizite Formel der Hermite-Polynome, also:
[mm] H_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{[n/2]}\bruch{-1^m(n)!2^{n-2m}}{m!(n-2m)!}x^{n-2m}
[/mm]
Dies ins Integral einsetzen, die Summe (aller von x unabhaenigen Terme) aus dem Integral ziehen, das Integral der von x abhaengigen Terme aufloesen (ueber partielle Integration) und etwas umformen.
|
|
|
|
