Herletung aus Körperaxiomen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Sa 22.10.2005 | | Autor: | zwickie |
Hallo, ich hoffe das mir jemand weiter helfen kann..
Hab zwar ne Idee, wende da aba nich wirklich die Axiome an, na ma schaun.
Man leite die folgende Regel aus den Körperaxiomen her:
c) Ist X [mm] \ne [/mm] 0, so gilt (-x)^-1 = -x^-1
Ich würde die beiden Ausdrücke als Bruch schreiben, sodass dasteht
[mm] \bruch{1}{-x} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] , wodurch beide Ausdrücke unübersehbar gleich sind.
Ist dieser Ansatz richtig, oder gehts doch anders, also über die Körperaxiome, finde aber keine verbindung dazu, bitte helt mir ..
Mfg Marco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marco!
> Ich würde die beiden Ausdrücke als Bruch schreiben, sodass dasteht
> $ [mm] \bruch{1}{-x} [/mm] $ = - $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ , wodurch beide Ausdrücke unübersehbar gleich sind.
Nein, so kann man das nicht machen. Du verwendest hier einfach die Schreibweise [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] für [mm] $x^{-1}$; [/mm] was du anbringst, ist also lediglich eine "notatorische" Umformulierung des zu beweisenden Satzes.
Nun zum Beweis des Satzes:
Es sei $R$ ein Ring mit 1 und [mm] $x\in [/mm] R$. Das additive Inverse von $x$, bezeichnet als $-x$, entspricht dann [mm] $(-1)\cdot [/mm] x$ (denn [mm] $x+(-1)\cdot [/mm] x = [mm] 1\cdot x+(-1)\cdot [/mm] x = [mm] (1+(-1))\cdot [/mm] x = [mm] 0\cdot [/mm] x=0$).
Es ist also [mm] $(-x)^{-1} [/mm] = [mm] ((-1)\cdot x)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} (-1)^{-1}$. [/mm] Es ist nun (denn man zeigt für Ringe leicht $(-x)y=-(xy)$ und $x(-y)=-(xy)$, also $(-x)(-y)=-(x(-y))=-(-(xy))=xy$) [mm] $(-1)\cdot [/mm] (-1)=1$. Auf Grund der Eindeutigkeit der Inversen in der multiplikativen Gruppe des betrachteten Körpers ist also [mm] $(-1)^{-1}=-1$. [/mm] Es gilt also zusammengefasst [mm] $(-x)^{-1} [/mm] = [mm] ((-1)\cdot x)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} (-1)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} \cdot [/mm] (-1) = (-1) [mm] x^{-1} [/mm] = [mm] -x^{-1}$. [/mm]
Du siehst: du musst versuchen, dich so gut wie möglich von den reellen Zahlen zu lösen und dir (zumindestens am Anfang) stets pingelig klar machen, warum die Umformungen, die du gerade vornimmst, auch wirklich gültig sind. Das ist sehr wichtig.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Sa 22.10.2005 | | Autor: | zwickie |
Erstmal danke für die Antwort. Du hast mir damit sehr geholfen. Ich hab aber trotzdem noch eine Frage.
Du hast die Formulierung 0 *x=0 verwendet, dies ist aber keines der 9 Körperaxiome, sondern ein hergeleitetes. Ich habe dieses zwar in der vorherigen Aufgabe bewiesen, weiß aber nicht ob das für richtig empfunden wird, oder ob man sich nur auf die 9 Axiome berufen soll. Allerdings wäre es dumm 0 *x=0 nochmal zu beweisen, wenn man es schon getan hat. Wenn es vielleicht doch eine andere Möglichkeit gäbe wäre das super, kann mir allerdings auch keine andere vorstellen.
Ok danke nochmal für deine Antwort. Hmm bin mal gespannt auf deine antwort...;o)
Mfg Marco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marco!
Das beste ist, dass du in dem Beweis auf die vorherige Übungsaufgabe verweist. Es wäre ja unsinnig, in einem Satz alles auf die Axiome zurückzuführen. Dafür errichtet man ja auf dem Fundament der Axiome den Turm der Sätze, die aus ihnen folgen - ein Satz baut auf einem anderen auf, letztenendes aber beruht alles auf den Axiomen.
Es ist völlig in Ordnung und auch so zu empfehlen, dass du bei Aussagen, die dir bereits bekannt sind und bereits bewiesen wurden, auf sie und ihren Beweis zu verweisen und letzteren nicht mehr im Beweis deines Satzes anzubringen. Das macht die Struktur, die Idee, ja deinen gesamten Beweis viel klarer, da man erkennen kann, was nun wirklich neu ist, und worauf du aufbaust.
Liebe Grüße,
Hanno
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