Herleitung des kgV aus dem ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mo 16.04.2012 | | Autor: | DrZee |
| Aufgabe | Sei [mm]R[/mm] ein euklidischer Integritätsbereich mit [mm]a, b \in R[/mm] und [mm]a, b \neq 0[/mm].
Zeigen Sie, dass für [mm]k = \frac{ab}{ggT(a,b)}[/mm] gilt:
(1) [mm]a \vert k[/mm] und [mm]b \vert k[/mm]
(2) Für alle [mm]c \in R[/mm] gilt: [mm]a \vert c[/mm] und [mm]b \vert c \Rightarrow k \vert c[/mm].
Tipp: [mm]k[/mm] ist das [mm]kgV[/mm] von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]. |
Ich finde keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen soll.
Aus der Definition von [mm]k[/mm] folgt ja, dass [mm]ggT(a,b) \vert ab[/mm] gilt. Außerdem folgt aus der Definition des [mm]ggT[/mm] natürlich, dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] von [mm]ggT(a,b)[/mm] geteilt werden, aber nützt mir das, um zu zeigen, dass auch [mm]a \vert k[/mm] gilt?
Es wäre super, wenn mir da jemand etwas Starthilfe geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 16.04.2012 | | Autor: | hippias |
Nach Definition gilt fuer [mm] $x,y\in [/mm] R$, dass [mm] $x\vert y\iff \exist d\in R\: [/mm] y= dx$. Wenn Du nun $b= dggT(a,b)$ schreibst, muesste sich ein $d'$ fuer $k$ und $a$ finden lassen, dass die Definitionsbedingung erfuellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:14 Mo 16.04.2012 | | Autor: | DrZee |
Danke für deine Antwort, aber leider verstehe ich nicht ganz, was du meinst.
Die Definition der Teilbarkeit ist klar, also kann ich z.B. das hier schreiben:
Es exist. ein d mit [mm]a = ggT(a,b) \cdot d[/mm]
und
Es exist. ein e mit [mm]b = ggT(a,b) \cdot e[/mm]
und
Es exist. ein f mit [mm]ab = ggT(a,b) \cdot f[/mm]
Aber was kann ich jetzt damit anstellen? Ich habe mal die 1. und 2. Gleichung in die 3. eingesetzt, aber dann habe ich ja immer noch d, e und f als Unbekannte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 18.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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