Herleitung der eulerschen Zahl < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Sa 02.12.2006 | | Autor: | vonDutch |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin neu in der Community und hoffe wir haben eine gute Zeit gemeinsam 
Nun zu meinem Problem:
Also ich soll die eulersche Zahl e einführen und mein Lehrer hat mir gesagt, ich soll den Weg über das standart beispiel mit der verzinsung wählen
und anschliessend mithilfe des "satzes über die konvergenz monotoner und beschränkter folgen" und danach mit bernouli beweisen.
Er hat mir eine Kopie gegeben, wo dies relativ ausfühlich dargestellt ist, aber leider kapiere ich einfach nicht wie man diesen beweis genau durchfüht und wie man dies ausrechnet.
Ich komme bis zum punkt:
[mm] \bruch{e_{n+1}}{e_{n}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} *(1+\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}}
[/mm]
Dann macht er im Buch:
=
[mm] (\bruch{(n+2)*n}{(n+1)^{2}})^{n+1} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n})
[/mm]
Ich weiss nicht wie er auf diesen wert kommt und der rest is mir auch schwer nachvollziehbar
Kann mir das jemand schritt für schritt erklären, wie man bei [mm] E=(1+(1/n))^n
[/mm]
ist das beweisen kann mit diesem satz, oder vllt einen link posten
ich hab wirklich nichts gutes zu diesem them gefunden!
Ach ja falls es hilft mein Problem nachzuvollziehen:
Er hat mir eine Kopie gegeben, die so aussieht als ob sie aus einem lambacher schweizer buch kopiert worden ist. Die eulersche zahl wir auf s. 90 eingeführt
Aber es ist KEINES von diesen büchern:
LS Analysis
LS Analytische Geometrie mit linearer Algebra
LS Kursstufe
Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!!!
mfg
alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 02.12.2006 | | Autor: | vonDutch |
danke, aber auf den seiten wird doch nicht dieser weg gewählt über die folgen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Sa 02.12.2006 | | Autor: | miomi |
Hallo,
dann lies Dir einmal bitte Seite 3 und 4 des 3. Links durch.
Für einen Kurzvortrag ist das wohl sehr gut geeignet.
Es gibt da ein Buch von eli maor "Die Zahl e, Geschichte und Geschichten", kannst Die bestimmt in der Bibliothek ausleihen.
oder gehe noch mal auf den Linke
![[]](/images/popup.gif) http://matheraetsel.de/texte/DIPLOM_E.PDF
Gruß Miomi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 02.12.2006 | | Autor: | vonDutch |
ich verstehe nicht ganz, wie er auf die form [mm] e^{x}>x+1 [/mm] kommt
(beim 3.link)
kann mir niemand sagen, wie man von
[mm] \bruch{e_{n+1}}{e_{n}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} *(1+\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}}
[/mm]
zu
=
[mm] (\bruch{(n+2)*n}{(n+1)^{2}})^{n+1} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm]
kommt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> ich verstehe nicht ganz, wie er auf die form [mm]e^{x}>x+1[/mm]
> kommt
> (beim 3.link)
Habe ich mich nicht beschäftigt.
> kann mir niemand sagen, wie man von
> [mm]\bruch{e_{n+1}}{e_{n}}[/mm] = ... =
> [mm]\bruch{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} *(1+\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}}[/mm]
Der Term müsste lauten
[mm]\bruch{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} *(1+\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{\red{n}})^{n+1}}[/mm]
Dann erhält man:
[mm]=\bruch{\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1} *\left(1+\bruch{1}{n}\right)}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}}[/mm]
[mm]=\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1} *\left(\bruch{n}{n+1}\right)^{n+1}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)[/mm]
[mm]=\left(\bruch{n+2}{n+1}*\bruch{n}{n+1}\right)^{n+1}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)[/mm]
> zu
>
> =
> [mm](\bruch{(n+2)*n}{(n+1)^{2}})^{n+1}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> kommt
Alles klar?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 02.12.2006 | | Autor: | vonDutch |
ok wunderbar dankeschön!
[mm](\bruch{(n+2)*n}{(n+1)^{2}})^{n+1}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm]
aber wie kommt man dann von dieser form auf
[mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})*\bruch{n+1}{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> [mm](\bruch{(n+2)*n}{(n+1)^{2}})^{n+1}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm]
> aber wie kommt man dann von dieser form auf
>
> [mm](1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})*\bruch{n+1}{n}[/mm]
Es ist ja $(n+2)*n = [mm] n^2+2n [/mm] = [mm] n^2+2n+1-1 [/mm] = [mm] (n+1)^2-1$, [/mm] weswegen man kürzen kann:
[mm] $\bruch{(n+2)*n}{(n+1)^{2}}=\bruch{(n+1)^2-1}{(n+1)^{2}}=\bruch{(n+1)^2}{(n+1)^{2}}-\bruch{1}{(n+1)^{2}}=1-\bruch{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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ok danke das wäre soweir geklärt!!
Aber ich hänge schon am nächsten Problem
Ich setze ja den Term
[mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})*\bruch{n+1}{n}
[/mm]
In die Ungleichung von Bernoulli ein
die ja lautet
[mm] (1+x)^{n}\ge [/mm] 1+nx
?
um dann schlieslich zu beweisen, dass [mm] e_{n} [/mm] eben monoton steigend ist (wenn da 1 rauskommt)
Eingesetzt sieht das ganze so aus:
[mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})^{n+1} [/mm] > [mm] 1-\bruch{n+1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
wie soll ich dann weitermachen?
!! EDIT: OK ES HAT SICH ERLEDIGT, HABS SELBER HINGEKRIEGT !!
Nun aber frage ich mich, wie ich die beschränktheit beweisen kann, im buch führt er die gleiche funktion mit n+1 ein und beweist, dass diese monton fallend ist.
aber wieso?
und rauskommt,dass die obere grenze 4 ist, wieso denn dass? ich hab gedacht der grenzwert ist eben diese eulersche zahl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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