Herleitung der eulerschen Zahl < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Sarah288 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen! Ich habe Probleme, die Herleitung der eulerschen Zahl nachzuvollziehen!
[mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
ich weiß aber nicht, wie man auf die Klammer kommt bzw. was sie bedeutet... Kann mir jemand helfen??
Liebe Grüße Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Man hat sich das so gedacht: Man suchte sich eine Exponentialfunktion, die bei x=0 den Anstieg 1 haben sollte. Oder in anderen Worten: Man suchte eine Funktion, die die Gerade y=x+1 in A(0|1) berühern sollte. Ihre Form sollte einfach nur [mm] y=a^x [/mm] sein.
Wenn man ein paar Exponentialfunktion testet, bekommt man mit, dass diese gesuchte Basis der Potenz zwischen 2 und 3 liegen muss.
Dann hat man sich dem Punkt langsam genähert und dabei alle Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion aufgestellt.
Ich fange mal an:
[mm] P_1(1|1+1); P_2(\bruch{1}{2}|1+\bruch{1}{2}); P_3(\bruch{1}{3}|1+\bruch{1}{3}); [/mm] ... [mm] P_n(\bruch{1}{n}|1+\bruch{1}{n});...
[/mm]
Wie man sieht, nähren sich die Punkte dem Punkt A(0|1) auf der Gerade y=x+1.
Und nun berechnet man die Basis a der Exponentialgleichung, die durch die Punkte [mm] P_1, P_2, [/mm] ... [mm] P_n [/mm] gehen:
[mm] 1+1=a_1^1 \Rightarrow a_1=1+1 [/mm] (=2)
[mm] 1+\bruch{1}{2}=a_2^{\bruch{1}{2}} \Rightarrow a_2=(1+\bruch{1}{2})² [/mm] (=2,25)
...
[mm] 1+\bruch{1}{n}=a^{\bruch{1}{n}} \Rightarrow a=(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Und dieser Grenzwert ist zufälligerweise die Eulersche Zahl :)
(Damit ist zwar noch nicht gezeigt, dass e jetzt die gesuchte Basis ist, aber da hast du auf alle Fälle den Ursprung dieser Zahl ;) )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Sarah288 |
Danke Teufel!
Kann es sein, dass du das gleich Mathebuch wie ich hast? Lambacher Schweitzer Analysis? ;) Konntest mir trotzdem helfen, vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Ja, so ist es :P naja, dann hätte ich's ja gar nicht machen brauchen, aber egal :)
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