Herleitung Zentripetalkraft < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mir auf dem Landungsbildungsserver die Herleitung der Gleichung zur Zentripetalkraft angesehen( http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/mechanik2/kreis/zentripetalkraft.htm)und habe mich gefragt ob das Ergebnis tatsächlich ganz genau ist. In dem Absatz in dem oben steht "Die Ähnlichkeit wird ausgenutzt" wird die Strecke P1P2 durch s also [mm] v*\Delta [/mm] t ersetzt, P1P2 entspricht aber nur ungefähr s, trotzdem steht im nächsten Schritt [mm] \Delta [/mm] v \ [mm] \Delta [/mm] t = [mm] v^2/r [/mm] und das versteh ich nicht in diesem Fall müsste da doch nicht gleich sondern ungefähr stehen oder? Meine zweite Frage würde sich auf den Grenzwert beziehen wir haben ihn bisher in der Schule nicht durchgenommen, aber ich denke a= [mm] \limes_{n\rightarrow\0}(n->0) [/mm] bedeutet je näher [mm] \Delta [/mm] t sich an 0 nähert um so genauer wird das Ergebnis(aber 0 kann man nicht teilen deswegen könnte es doch nie ganz genau werden oder?), aber warum folgert man nun daraus dass az= [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \Delta [/mm] v/ \ [mm] \Delta [/mm] t = [mm] v^2/r [/mm] ist, würde das dann nicht bedeuten das die Rechnung für jedes [mm] \Delta [/mm] t genau ist?
Gruß
(P.S.: Ich habs nicht hinbekommen den Grenzwert gegen 0 hier aufzuschreiben aber immer wenn ich den Grenzwert erwähne läuft er gegen 0)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal hast du recht einfach [mm] \Delta v/\Delta [/mm] t [mm] =v^2/r [/mm] zu schreiben ist so falsch, In der Zeile darüber steht ja auch noch das ungefähr gleich.
wichtig ist aber hier der Vergleich mit der Geschwindigkeit auf der Kreisbahn, in der oberen Zeichnung. Auch da müsstest du ja eingentlich um v zu bestimmen [mm] \Delta s/\Delta [/mm] t bestimmen, und hättest das gleiche Problem. Es ist schwierig sich die Idee einer "Momentangeschwindigkeit vorzustellen. weil man messen immer nur Durchschnittsgeschwindigkeiten kann, d.h. man kann Wege in immer kürzeren zeiten messen und daraus v ausrechnen. Wenn man dabei merkt, dass die Geschwindigkeit sich bei immer kleineren Zeiten einem festen Wert nähert, definiert man diesen Wert als "Momentangeschwindigkeit." das solltest du auch schon von der geradlienigen Bewegung mit nicht konstanter Geschwindigkeit kennen. wenn du bei konstanter Beschleunigung etwa hinschreibst v(t)=v(0)+a*t hast du eine Geschwindigkeit in jedem Zeitpunkt, messen kannst du aber nur in Zeitintervallen. ihr solltet das z.B beim Fallen eines Steins gesehen haben, da stellt man fest, dass [mm] s=konst*t^2 [/mm] ist dann untersucht man durchschnitssgescwindigkeiten [mm] (s(t2)-s(t_1))/(t2-t1) [/mm] und sieht auch da, dass man bei immer kleinerem t2-t1 auf v=2k*t kommt. 2k kann man dann als konstante Beschleunigung (beim Fallen g) ) herauskriegen.
die Beschleunigung beim Kreis ist etwas schwieriger, weil sie (bei gleichmäsiger Geschwindigkeit) nur die Richtung, nicht die Größe von v ändert.
wenn man dann aber alle Geschwindigkeitsvektoren, wie in der zweiten Zeichnung von einem punkt aus zeichnet, sieht man, dass die Geschwindigkeitsänderung, sich genauso verhält wie die Wegänderung in der ersten zeichnung, nur der Radius des Kreises ist jetzt nicht r sondern v.
also ist die Beschleunigung so was wie die Geschwindigkeit der Geschwindigkeit. dass die Momentangeschwindigkeit einfach Kreisumfang durch Umlaufzeit ist einleuchtend, also ist jetzt die Beschleunigung Kreisumfang des Kreises mit Radius v durch Umlaufzeit- also hattest du
1. [mm] v=2\pi*r/T [/mm] und
2. a=2˜pi*v/T
T kannst du aus 1. ausrechnen [mm] T=2\pi*r/v
[/mm]
in 2. eingesetzt ergibt sich dann [mm] a=v^2/r
[/mm]
so brauchst du keinen Grenzübergang, wenn dir die formel für v einleuchtet und du den kreis siehst, auf dem v umläuft.
aber auch wenn du den Grenzübergang machst, siehst du eben, dass sich für immer kleinere [mm] \Delta [/mm] t P!P2 immer mehr zu s wird , das ungefähr gleich immer mehr zu gleich. und das sind eben immer kleinere Unterschiede, d,h, die Grenze kann nur s/r sein.
ich hoffe, es ist etwas klarer geworden.
Gruß leduart
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Danke für die Antwort, hat mich aufjedenfall weitergebracht!
1. und 2. machen Sinn und 2pi*v/2pi*r/v= [mm] v^2/r, [/mm] aber das mit dem Grenzwert hab ich um ehrlich zu sein immer noch nicht ganz verstanden, ich sehe auch das sich s p1p2 immer mehr annähert, doch deine Schlussfolgerung die Grenze müsse s/r hab ich nicht verstanden für ein [mm] \Delta [/mm] t =0 würde das doch stimmen aber für jedes andere [mm] \Delta [/mm] t nicht(und man würde doch nie mit einem [mm] \Delta [/mm] t=0 rechnen), vielleicht sollte ich mir den Grenzwert auch noch mal von meiner Mathelehrerin erklären lassen
Gruß Fugbaum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja sich das in Mathe erklären zu lassen ist eine gute Idee.
vielleicht noch ein Versuch: natürlich ist eine durchschnittsgeschw, nie gleich der Momentangeschw. (es sei denn v ist konstant) trotzdem kann man [mm] \Delta [/mm] t immer kleiner machen, wenn du dabei etwa fr die Durchschnitsgeschwindigkeit rausbekämst. 1,1m/s, 1,01 m/s 1,001m/s 1,0001 m/s 1,000000001m/s dann siehst du, dass sich der Wert immer mehr der 1m/s annähert. Wenn du jetzt noch siehst, dass man immer mehr Nullen erzeugen kann, dann sagst du der Grenzwert ist 1m/s und nennst das die Momentangeschwindigkeit.
mathematisch heisst das, wenn du du ein [mm] \Delta [/mm] t angeben kannst so dass sich v nur noch um ein winziges von 1 unterscheidet, dann nennst du den GW 1.
strll dir das so vor: jemand sagt, ich glaub die 1 nicht. dann darf er sagen gib mit ein [mm] \Delta [/mm] t, so dass sich v nur noch um [mm] 10^{-10} [/mm] von 1 unterscheidet, oder er kann sagen nur noch um [mm] 1o^{-100} [/mm] usw. wenn du dann jedesmal ein (auch sehr kleines ) [mm] \Delta [/mm] t angeben kannst ist er mit deinem GW zufrieden.
Beispiel der Weg sei [mm] s(t)=3*1/s^2*t^2
[/mm]
deine Behauptung die Geschwindigkeit im Moment 4s ist genau 24m/s!
ich glaub dir nicht, und sag, gib mit ein [mm] \delta [/mm] t an, so dass sich das nicht mehr als um 0,01 von 24m/s unterscheidet,
ich rechne: (s(4s)-s(3,999s))/0.001s=3*(16-15,992)/0,001=0.023997/0.001=23,997 Unterschied nur 0,003 also klainer als die verlangten 0.01
wenn jetzt wenoger als 0.001 Unterschied gefragt werden, dann mach ich halt statt 3.999s 3.9995 s. usw. ich komm garantiert beliebig nahe an die 24m/s also kann bei genau 4s man nur 24m/s sagen, auch wenn man nie [mm] \Delta [/mm] t=0 rechnen kann, aber beliebig nahe an die null kann ich schon.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Fugbaum200 |
Moin, ich wollt mich nur nochmal bedanken hab vergessen nochmal zurückzuschreiben das Thema ist für mich geklärt danke für die Hilfe
Ciao
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