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| Aufgabe | Gegeben: Kreis K(M, r); [mm] M(x_{m} [/mm] | [mm] y_{m}); [/mm] Berührungspunkt [mm] B(x_{b} [/mm] | [mm] y_{b}); [/mm] B [mm] \in [/mm] K
Leiten Sie die allgemeine Tangentengleichung an einen Kreis mit Berührpunkt B her:
[mm] r^{2} [/mm] = (x - [mm] x_{m}) (x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] + (y - [mm] y_{m}) (y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] |
Die Steigung habe ich nun schon rausbekommen:
[mm] m_{t} [/mm] = - [mm] \bruch{x_{b} - x_{m}}{y_{b} - y_{m}}
[/mm]
Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Meine Lehrerin hatte mir noch den Tipp gegeben, dass B die Kreisgleichung erfüllt, aber auch damit komme ich nicht weiter.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Kreistangentengleichung
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Hallo toffifee93,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben: Kreis K(M, r); [mm]M(x_{m}[/mm] | [mm]y_{m});[/mm] Berührungspunkt
> [mm]B(x_{b}[/mm] | [mm]y_{b});[/mm] B [mm]\in[/mm] K
> Leiten Sie die allgemeine Tangentengleichung an einen
> Kreis mit Berührpunkt B her:
> [mm]r^{2}[/mm] = (x - [mm]x_{m}) (x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] + (y - [mm]y_{m}) (y_{b}[/mm] -
> [mm]y_{m})[/mm]
> Die Steigung habe ich nun schon rausbekommen:
>
> [mm]m_{t}[/mm] = - [mm]\bruch{x_{b} - x_{m}}{y_{b} - y_{m}}[/mm]
>
> Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Meine Lehrerin
> hatte mir noch den Tipp gegeben, dass B die Kreisgleichung
> erfüllt, aber auch damit komme ich nicht weiter.
>
Stelle zunächst die Tangentengleichung auf:
[mm]y=m_{t}*x+b[/mm]
Verwende nun, daß [mm]\left(x_{b}\left\right|y_{b}\right)[/mm]
auf dieser Tangente liegt.
Daraus ergibt sich der Achsenabschnitt b.
Danach mußt Du etwas tricksen, um auf obige Gleichung zu kommen.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-der-Kreistangentengleichung
Gruss
MathePower
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Ich setze also nun [mm] x_{b} [/mm] und [mm] y_{b} [/mm] ein und erhalte nach Umformen:
b = [mm] y_{b}^{2} [/mm] - [mm] y_{b} [/mm] * [mm] y_{m} [/mm] + x [mm] _{b}^{2} [/mm] + [mm] x_{b} [/mm] * [mm] x_{m}
[/mm]
(Ich hoffe das ist richtig.)
Aber wie geht es dann genau weiter?
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Hallo toffifee93,
> Ich setze also nun [mm]x_{b}[/mm] und [mm]y_{b}[/mm] ein und erhalte nach
> Umformen:
>
> b = [mm]y_{b}^{2}[/mm] - [mm]y_{b}[/mm] * [mm]y_{m}[/mm] + x [mm]_{b}^{2}[/mm] + [mm]x_{b}[/mm] *
> [mm]x_{m}[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]b = \bruch{y_{b}^{2} - y_{b} * y_{m} + x_{b}^{2} \red{-} x_{b} * x_{m}}{\red{y_{b}-y_{m}}}[/mm]
>
> (Ich hoffe das ist richtig.)
>
> Aber wie geht es dann genau weiter?
Setze dieses b in die Tangentengleichung
[mm]y=m_{t}*x+b[/mm]
ein.
Gruss
MathePower
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Ok, schonmal Danke für deine Antworten.
Aber wie muss ich jetzt genau umformen, um auf die gewünschte Form zu kommen und vor allem wie komme ich auf das [mm] r^{2}?
[/mm]
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Hallo toffifee93,
> Ok, schonmal Danke für deine Antworten.
>
> Aber wie muss ich jetzt genau umformen, um auf die
> gewünschte Form zu kommen und vor allem wie komme ich auf
> das [mm]r^{2}?[/mm]
Wende zunächst auf das b das Distributivgesetz an.
In der Formel siehst Du, daß hier Ausdrücke wie
[mm]y-y_{m}, \ x-x_{m}[/mm]
vorhanden sind.
In der Tangenten Gleichung hast Du jedoch Ausdrücke der Form
[mm]y-y_{b}, \ x-x_{b}[/mm]
Hier liegt es doch nahe, eine künstliche Null hinzuzufügen.
[mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]
[mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]
Gruss
MathePower
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Moment, also ich setzte erstmal m und b in die allg. Geradengleichung ein und erhalte:
y = - [mm] \bruch{(x_{b} - x_{m}) * x}{y_{b} - y_{m}} [/mm] + [mm] \bruch{y_{b}^{2} - y_{b} * y_{m} + x_{b}^{2} x_{b} * x_{m}}{y_{b}-y_{m}}
[/mm]
(Habe x schon mit Steigung multipliziert.)
Nun rechne ich auf beiden Seiten mal [mm] y_{b}-y_{m} [/mm] um die Brüche wegzubekommen:
[mm] y(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] = [mm] (-x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] * x + [mm] y_{b}^{2}-y_{b}*y_{m} [/mm] + [mm] x_{b}^{2}-x_{b}*x_{m}
[/mm]
Aber auch nach Auflösen der beiden restlichen Klammer erhalte ich nichts was im Entferntesten der Tangentengleichung nahe kommt...
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Hallo toffifee93,
> Moment, also ich setzte erstmal m und b in die allg.
> Geradengleichung ein und erhalte:
>
> y = - [mm]\bruch{(x_{b} - x_{m}) * x}{y_{b} - y_{m}}[/mm] +
> [mm]\bruch{y_{b}^{2} - y_{b} * y_{m} + x_{b}^{2} x_{b} * x_{m}}{y_{b}-y_{m}}[/mm]
>
> (Habe x schon mit Steigung multipliziert.)
>
> Nun rechne ich auf beiden Seiten mal [mm]y_{b}-y_{m}[/mm] um die
> Brüche wegzubekommen:
>
> [mm]y(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = [mm](-x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] * x +
> [mm]y_{b}^{2}-y_{b}*y_{m}[/mm] + [mm]x_{b}^{2}-x_{b}*x_{m}[/mm]
>
> Aber auch nach Auflösen der beiden restlichen Klammer
> erhalte ich nichts was im Entferntesten der
> Tangentengleichung nahe kommt...
Den Ausdruck
[mm]y_{b}^{2}-y_{b}*y_{m}+ x_{b}^{2}-x_{b}*x_{m}[/mm]
kannst noch etwas anders schreiben:
[mm]y_{b}*\left(...\right)+x_{b}*\left(...\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Ah ok, daraus folgt dann:
[mm] y(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] + [mm] x(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] = [mm] y_{b}(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] + [mm] x_{b}(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m})
[/mm]
Und wie geht es jetzt weiter? Wie komm ich zum [mm] r^{2}?
[/mm]
(Ist wahrscheinlich ganz einfach, aber ich steh gerade ziemlich aufm Schlauch ;) )
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Hallo toffifee93,
> Ah ok, daraus folgt dann:
>
> [mm]y(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] + [mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] = [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm]
> + [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm]
>
> Und wie geht es jetzt weiter? Wie komm ich zum [mm]r^{2}?[/mm]
> (Ist wahrscheinlich ganz einfach, aber ich steh gerade
> ziemlich aufm Schlauch ;) )
Dann geh runter vom Schlauch.
Bringe zunächst mal alles auf eine Seite und ersetze,
wie in einem der vorigen Posts erwähnt:
[mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]
[mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]
Nutze dann, die Kenntnis, daß der Berührpunkt auf dem Kreis liegt.
Gruss
MathePower
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Also die Ähnlichkeit zur Kreisgleichung lässt sich schon erahnen, allerdings müssten ja dazu die "Vorfaktoren" der Klammern weg sein.
Ich verstehe aber gar nicht, wo ich das hier anwenden soll:
[mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]
[mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]
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Hallo toffifee93,
> Also die Ähnlichkeit zur Kreisgleichung lässt sich schon
> erahnen, allerdings müssten ja dazu die "Vorfaktoren" der
> Klammern weg sein.
> Ich verstehe aber gar nicht, wo ich das hier anwenden
> soll:
>
> [mm]x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b}[/mm]
>
> [mm]y-y_{b}=y-y_{m}+y_{m}-y_{b}[/mm]
Nun, Du hast eine Gleichung der Form
[mm] ... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
Ersetze jetzt wie angegeben, dann steht da:
[mm] ... * \left(x-x_{m}\right)+... * \left(x_{m}-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)+ ... * \left(y_{m}-y_{b}\right)=0[/mm]
[mm]\gdw ... * \left(x-x_{m}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)=... * \left(x_{b}-x_{m}\right)+... * \left(y_{b}-y_{m}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Nun, Du hast eine Gleichung der Form
[mm] ... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
Nein, bei mir steht gerade:
[mm] x(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] - [mm] x_{b}(x_{b} [/mm] - [mm] x_{m}) [/mm] + [mm] y(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] - [mm] y_{b}(y_{b} [/mm] - [mm] y_{m}) [/mm] = 0
Ich habe nirgendswo ein einzelnes X in der Klammer. Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo toffifee93,
>
> Nun, Du hast eine Gleichung der Form
>
> [mm]... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
>
> Nein, bei mir steht gerade:
>
> [mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] - [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] + [mm]y(y_{b}[/mm] -
> [mm]y_{m})[/mm] - [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = 0
>
> Ich habe nirgendswo ein einzelnes X in der Klammer. Was
> habe ich falsch gemacht?
Die Gleichung, die Du erhalten hast, kannst Du noch etwas zusammenfassen:
[mm]\left(x-x_{b}\right)*(x_{b} - x_{m}) + \left(y-y_{b}\right)*(y_{b} - y_{m}) = 0[/mm]
Gruss
MathePower
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Ok, ich hab es nun endlich verstanden. Kann nun den Teil auf der rechten Seite mit der Kreisgleichung einsetzen/gleichsetzten und komme dann auf die Tangentengleichung.
Allerdings müsstest du mir die Umformung von:
[mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] - [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] -[mm]x_{m})[/mm] + [mm]y(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] - [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = 0
auf:
[mm]\left(x-x_{b}\right)*(x_{b} - x_{m}) + \left(y-y_{b}\right)*(y_{b} - y_{m}) = 0[/mm]
nochmal erklären. Gibt es da irgendeine Gesetzmäßigkeit, oder so?
Herzlichen Dank!!
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Hallo toffifee93,
> Ok, ich hab es nun endlich verstanden. Kann nun den Teil
> auf der rechten Seite mit der Kreisgleichung
> einsetzen/gleichsetzten und komme dann auf die
> Tangentengleichung.
>
> Allerdings müsstest du mir die Umformung von:
> [mm]x(x_{b}[/mm] - [mm]x_{m})[/mm] - [mm]x_{b}(x_{b}[/mm] -[mm]x_{m})[/mm] + [mm]y(y_{b}[/mm] -
> [mm]y_{m})[/mm] - [mm]y_{b}(y_{b}[/mm] - [mm]y_{m})[/mm] = 0
>
> auf:
> [mm]\left(x-x_{b}\right)*(x_{b} - x_{m}) + \left(y-y_{b}\right)*(y_{b} - y_{m}) = 0[/mm]
>
> nochmal erklären. Gibt es da irgendeine Gesetzmäßigkeit,
> oder so?
[mm]x(x_{b} - x_{m}) - x_{b}(x_{b} -x_{m}) + y(y_{b} -
y_{m}) - y_{b}(y_{b} - y_{m}) = 0 [/mm]
Hier siehst Du, daß die ersten 2 Summanden den Faktor
[mm]\left(x_{b}-x_{m}\right)[/mm] gemeinsam haben.
Daher kannst Du nach dem Distributivgesetz schreiben:
[mm]x(x_{b} - x_{m}) - x_{b}(x_{b} -x_{m})=\left(x-x_{b}\right)*\left(x_{b}-x_{m}\right)[/mm]
Analog gilt das für den 3. und 4. Summanden:
[mm]y(y_{b} - y_{m}) - y_{b}(y_{b} -y_{m})=\left(y-y_{b}\right)*\left(y_{b}-y_{m}\right)[/mm]
>
> Herzlichen Dank!!
Gruss
MathePower
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Achja so nannte sich das :D
Gibt es dafür auch einen Namen?
Nun, Du hast eine Gleichung der Form
[mm] ... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
Ersetze jetzt wie angegeben, dann steht da:
[mm] ... * \left(x-x_{m}\right)+... * \left(x_{m}-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)+ ... * \left(y_{m}-y_{b}\right)=0[/mm]
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Hallo toffifee93,
> Achja so nannte sich das :D
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> Gibt es dafür auch einen Namen?
"Ausklammern"
>
> Nun, Du hast eine Gleichung der Form
>
> [mm]... * \left(x-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{b}\right)=0[/mm]
>
> Ersetze jetzt wie angegeben, dann steht da:
>
> [mm]... * \left(x-x_{m}\right)+... * \left(x_{m}-x_{b}\right)+ ... * \left(y-y_{m}\right)+ ... * \left(y_{m}-y_{b}\right)=0[/mm]
>
Gruss
MathePower
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Ok, nochmal danke für deine Geduld!
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Hallo,
an diesem Punkt kann ich nicht nachvollziehen wie man auf diese beiden Gleichungen kommt. Was ist mit dieser künstlichen Null gemeint?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Fr 09.12.2011 | | Autor: | chrisno |
Ich nehme an, Du meinst Die beiden letzten Gleichungen (benutze einfach die Zitierfunktion und lösche alles, was zu viel ist)
> In der Formel siehst Du, daß hier Ausdrücke wie
> $ [mm] y-y_{m}, [/mm] \ [mm] x-x_{m} [/mm] $
> vorhanden sind.
Ist klar, oder?
> In der Tangenten Gleichung hast Du jedoch Ausdrücke der Form
> $ [mm] y-y_{b}, [/mm] \ [mm] x-x_{b} [/mm] $
Ist auch klar, oder?
> Hier liegt es doch nahe, eine künstliche Null hinzuzufügen.
Vorhanden ist $ [mm] x-x_{m} [/mm] $, benötigt wird $ [mm] x-x_{b} [/mm] $
$ [mm] x-x_b [/mm] = [mm] x-x_b [/mm] + 0 = [mm] x-x_b [/mm] + [mm] x_m [/mm] - [mm] x_m [/mm] = $
> $ [mm] x-x_{b}=x-x_{m}+x_{m}-x_{b} [/mm] $
Null darf man immer addieren und dann so passend in hier eben in $+ [mm] x_m [/mm] - [mm] x_m$ [/mm] zerlegen. Dann hat man das [mm] $-x_m$, [/mm] was man braucht. Nur muss man den anderen Teil, [mm] $+x_m$, [/mm] auch irgendwo passend unterbringen.
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Vielen Dank!
Jetzt habe auch ich es verstanden.
Viele Grüße
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