Herleitung Schwarzsche Formel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mo 16.05.2011 | | Autor: | longneck |
Hallo!
Ich erarbeite gerade ein Kapitel in der Funktionentheorie zum dirichletschen Randwertproblem und bin relativ am Anfang schon ins stocken geraten. Und zwar steht hier ungefähr folgendes:
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$
[/mm]
Für [mm] $z=Re^{i\varphi}$ [/mm] erhält man für [mm] $u=\frac{1}{2}(f+\overline{f}) [/mm] die Entwicklung
[mm] $u(Re^{i\varphi}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(a_ne^{in\varphi}+\overline{a_n}e^{-in\varphi})R^n$
[/mm]
Soweit so gut.
Jetzt soll Multiplikation mit [mm] $e^{-ik\varphi}$, $k\in\mathbb{N}_0$ [/mm] und Integration über [mm] [0,2\pi] [/mm] zu folgender Formel führen:
[mm] $\integral_{0}^{2\pi}u(Re^{i\varphi})e^{-ik\varphi}d\varphi [/mm] = [mm] \frac{1}{2}a_k 2\pi R^k$ [/mm] für $k>0$, bzw. [mm] \frac{1}{2}\cdot 2\cdot a_0 2\pi [/mm] für k=0.
Da das Integral so einfach ist und die Stammfkt. ja anscheinend so etwas wie [mm] $\frac{1}{2}a_k\varphi R^k$ [/mm] sein müsste, gehe ich davon aus dass man obige Summe nach Multiplikation mit [mm] $e^{-ik\varphi}$ [/mm] irgendwie vereinfachen kann bevor intergriert wird? Wenn man [mm] $e^{-ik\varphi}$ [/mm] in die Summe zieht fällt ja schonmal für n=k ein bischen was weg. Leider habe ich sonst keine Ahnung.. -_-
Danke schonmal im voraus!
Und Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 18.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Hallo!
> Ich erarbeite gerade ein Kapitel in der Funktionentheorie
> zum dirichletschen Randwertproblem und bin relativ am
> Anfang schon ins stocken geraten. Und zwar steht hier
> ungefähr folgendes:
>
> [mm]f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm]
> Für [mm]$z=Re^{i\varphi}$[/mm]
> erhält man für [mm]$u=\frac{1}{2}(f+\overline{f})[/mm] die
> Entwicklung
> [mm]u(Re^{i\varphi}) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(a_ne^{in\varphi}+\overline{a_n}e^{-in\varphi})R^n[/mm]
>
> Soweit so gut.
> Jetzt soll Multiplikation mit [mm]e^{-ik\varphi}[/mm],
> [mm]k\in\mathbb{N}_0[/mm] und Integration über [mm][0,2\pi][/mm] zu
> folgender Formel führen:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}u(Re^{i\varphi})e^{-ik\varphi}d\varphi = \frac{1}{2}a_k 2\pi R^k[/mm]
> für [mm]k>0[/mm], bzw. [mm]\frac{1}{2}\cdot 2\cdot a_0 2\pi[/mm] für k=0.
> Da das Integral so einfach ist und die Stammfkt. ja
> anscheinend so etwas wie [mm]\frac{1}{2}a_k\varphi R^k[/mm] sein
> müsste, gehe ich davon aus dass man obige Summe nach
> Multiplikation mit [mm]e^{-ik\varphi}[/mm] irgendwie vereinfachen
> kann bevor intergriert wird?
Nein. Hier werden Summation und Integration vertauscht; wegen
[mm] \integral_{0}^{2\pi} e^{im\varphi} d\varphi = \begin{cases} 0, & m\not=0 \\ 2\pi, &m=0 \end{cases} [/mm]
fallen dann alle Summanden bis auf den mit $k=n$ weg.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Do 19.05.2011 | | Autor: | longneck |
Ah alles klar! :)
Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 20.05.2011 | | Autor: | longneck |
Ok jetzt hab ich noch eine Frage:
Es wird dann die Schwarzsche Formel in folgender Form hergeleitet:
[mm] $f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(Re^{i\varphi})\frac{Re^{i\varphi} + z}{Re^{i\varphi} - z}d\varphi$ [/mm] hergeleitet.
Jetzt soll man diese auch in folgender Gestalt schreiben können:
[mm] $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\omega|=R}u(\omega)\frac{\omega + z}{\omega - z}\frac{d\omega}{\omega}$ [/mm]
Mit ist klar, dass [mm] $\omega=Re^{i\varphi}$ [/mm] und somit [mm] $|\omega|=R$ [/mm] und das man dann anstelle über [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] über [mm] $|\omega|=R$ [/mm] integriert.
Woher kommt aber das i im Nenner vor dem Integral?
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Hallo longneck,
> Ok jetzt hab ich noch eine Frage:
> Es wird dann die Schwarzsche Formel in folgender Form
> hergeleitet:
>
> [mm]f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(Re^{i\varphi})\frac{Re^{i\varphi} + z}{Re^{i\varphi} - z}d\varphi[/mm]
> hergeleitet.
> Jetzt soll man diese auch in folgender Gestalt schreiben
> können:
> [mm]f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\omega|=R}u(\omega)\frac{\omega + z}{\omega - z}\frac{d\omega}{\omega}[/mm]
> Mit ist klar, dass [mm]\omega=Re^{i\varphi}[/mm] und somit
> [mm]|\omega|=R[/mm] und das man dann anstelle über [mm][0,2\pi][/mm] über
> [mm]|\omega|=R[/mm] integriert.
> Woher kommt aber das i im Nenner vor dem Integral?
Nun, das kommt von der Substitution!
Mit [mm]\omega=\omega(\varphi)=Re^{i\varphi}[/mm] ist [mm]\frac{d\omega}{d\varphi}=iRe^{i\varphi}[/mm], also [mm]d\varphi=\frac{1}{i}\cdot{}\frac{1}{Re^{i\varphi}} \ d\omega=\frac{1}{i}\cdot{}\frac{1}{\omega} \ d\omega[/mm]
Das [mm]\frac{1}{i}[/mm] wandert vor das Integral.
Gruß
schachuzipus
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