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| Aufgabe | Leiten Sie mit Lemma 1.5 Summenformeln her für:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1) [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2
[/mm]
Lemma 1.5
(1) [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
(2) [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
(2) [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] |
Ich hab jetzt echt rumgerechnet und mir alles mögliche überlegt. Ich komm da auf keinen Ansatz, okay ich kann mir da eine Reihe von Ergebnissen aufschreiben und daraus die Summenformel erdenken und diese danach beweisen. Aber das hat alles mit den Lemma nichts zu tun.
Meine Idee war es, wie beider Induktion für n, (2n-1) einzusetzten, also über das Summenzeichen sowie in die Summenformel von Lemma 1.5 (1). Aber da ich das nicht beweisen kann scheint das auch der komplett falsche Weg zu sein. Oder?
Danke für eure Hilfe
Lukas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Leiten Sie mit Lemma 1.5 Summenformeln her für:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)[/mm]
Hallo,
das ist ja die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 2n-1.
Also das, was Du behaältst, wenn Du von der Summe der Zahlen von 1 bis 2n sämtliche geraden Zahlen, also 2,4,...,2n subtrahierst.
Es ist also
1+3+5+ ... +(2n-1)= (1+2+3+....+2n) - (2+4+6+...+2n) = (1+2+3+....+2n) -2*(1+2+3+ ...+n).
Nun schreiben wir das als Summen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)= [/mm] ???
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2[/mm]
Verwende hier: [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^2= \summe_{k=1}^{n}(4k^2-4k+1) [/mm] = ???
Als drei Einzelsummen schreiben, faktoren herausziehen, Lemma verwenden.
Gruß v. Angela
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> Lemma 1.5
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> (1) [mm]\summe_{k=1}^{n}k[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
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> (2) [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
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> (2) [mm]\summe_{k=1}^{n} k^3[/mm] = [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:31 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Nelly12345 |
ergibt beim überfliegen schon Sinn...
Danke für diese späte/frühe Antwort!!
Grüße
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> Leiten Sie mit Lemma 1.5 Summenformeln her für:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)[/mm]
Hallo,
offenbar sollte ich doch nochmal ins Bett gehen, bin noch nicht richtig ausgeschlafen.
Das geht doch viel bequemer:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=2\summe_{k=1}^{n}k [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Nelly12345 |
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=2\summe_{k=1}^{n}k [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=1}^{n}1 [/mm] $ = [mm] 2*\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] - 1 = n(n+1) - 1
Das Ergebniss ist aber [mm] n^{2}
[/mm]
Wo ist der Fehler??
und warum schreibst du in den Code ' $ '
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Nelly12345 |
das ist ja nicht " - 1 " sonder " - n "
ich nehm alles zurück
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