Herleiten der Volumenformel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe eine grosses Problem. Ich muss die Formel fuer das Volumen einer Kugelkappe mit Hilfe eines Rotationsintegrals herleiten! Kann mir hierbei einer behilflich sein???
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Moechte-gern-Mathe-genie
um Deinem Pseudonym gerecht zu werden solltest
Du hier schon ein paar eigene Überlegungen dazu
beitragen.
Die zu integrierenden Volumselemente dV
sind
Zylindrische Scheibchen, [mm] $\text{dV = }r^2 \pi \tex{dx}$
[/mm]
wobei
x der Abstand der Schnittebene vom Mittelpunkt der Kugel
mit dem Radius R ist.
Nun drücke die Größen x, r(x), dx am besten
durch den Winkel im Kugelmittelpunkt aus der
von dem rechtwinkeligem 3eck aus R ( Hypothenuse ),
und x, r(x) gebildete wird.
Zu integrieren ist dann natürlich über einen Winkelbereich.
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Danke fuer deine Hilfe! Doch mein Problem liegt daran, dass ich nicht weiss, was r(x) ist. ich nehme an, dass es die Hoehe h - r ist. Ist dies korrekt?
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Drücke r und x und als Folge davon [mm] $\text{dx = }x'(\alpha)*\text{d}\alpha$ [/mm] durch [mm] $\alpha$ [/mm] aus.
Über welchen Winkelbereich für eine gegebene Höhe der Kugelkappe zu integrieren ist
siehst Du doch?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mi 02.02.2005 | | Autor: | dominik |
Die Kugelkappe wird auch "Kugelsegment" genannt. Das Volumen wird oft durch die Höhe h der Kappe und den Kugelradius r ausgedrückt.
Vorschlag:
Du zeichnest einen Halbkreis mit Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems. Die Gleichung lautet dann [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] und ist nichts anderes als der Satz von Pythagoras.
Nun wird dieser Halbkreis um die x-Achse gedreht. Für das Rotationsintegral wählt man aber nicht das ganze Intervall - dabei entstünde ja eine Kugel -, sondern das Intervall auf der x-Achse von r-h bis r:
[mm] V=\pi* \integral_{a}^{b} {[f(x)]^2 dx}=\pi*\integral_{r-h}^{r} {(r^2-x^2 )dx}=\pi* [r^2*x- \bruch{x^3}{3}]_{r-h}^h= \bruch{\pi*h^2}{3}*(3r-h)
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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