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| Aufgabe | Gegeben ist das Funktional
$ J(y) = [mm] \integral_{a}^{b}{F(x,y,y') dx} [/mm] $ mit der Lagrange-Funktion F.
Das zugehörige Gâteaux-Differential ist:
$ [mm] \delta [/mm] J(y)h = [mm] \integral_{a}^{b}{F_{y}(x,y,y')h+F_{y'}(x,y,y')h'\ dx} [/mm] $
Aus der Herleitung des Gâteaux-Differentials stammt folgende Umformung:
(A) $ [mm] \bruch{1}{t}(F(x,y(x)+th(x),y'(x)+th'(x)) [/mm] - F(x,y(x),y'(x))) $
(B) $ = [mm] \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t}{\bruch{d}{ds}F(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x))\ ds} [/mm] $
(C.1) $ = [mm] F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)+F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x) [/mm] $
(C.2) $ +\ [mm] \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t}{F_{y}(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x)) - F_{y}(x,y(x),y'(x))\ dsh(x)} [/mm] $
(C.3) $ +\ [mm] \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t}{F_{y'}(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x)) - F_{y'}(x,y(x),y'(x))\ dsh'(x)} [/mm] $ |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Herleitung des des Gâteaux-Differentials. Die Umformung von (A) nach (B) verstehe ich. Wie man von (B) nach (C) kommt, kann ich nicht mehr nachvollziehen - auch wenn es wohl einfach und offensichtlich zu sein scheint. Kann mir dies jemand erklären?
Und noch eine kurze Zusatzfrage:
Am Ende von (C.2) steht $ dsh(x) $. Liest man das als $ d(sh(x)) $ oder als $ (ds)*h(x) $?
Vielen Dank für alle Antworten & schöne Grüße
franzzink
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 05.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo franzzink!
> Gegeben ist das Funktional
>
> [mm]J(y) = \integral_{a}^{b}{F(x,y,y') dx}[/mm] mit der
> Lagrange-Funktion F.
>
> Das zugehörige Gâteaux-Differential ist:
>
> [mm]\delta J(y)h = \integral_{a}^{b}{F_{y}(x,y,y')h+F_{y'}(x,y,y')h'\ dx}[/mm]
>
>
> Aus der Herleitung des Gâteaux-Differentials stammt
> folgende Umformung:
>
> (A) [mm]\bruch{1}{t}(F(x,y(x)+th(x),y'(x)+th'(x)) - F(x,y(x),y'(x)))[/mm]
>
> (B) [mm]= \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t}{\bruch{d}{ds}F(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x))\ ds}[/mm]
>
> (C.1) [mm]= F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)+F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x)[/mm]
>
> (C.2) [mm]+\ \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t}{F_{y}(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x)) - F_{y}(x,y(x),y'(x))\ dsh(x)}[/mm]
>
> (C.3) [mm]+\ \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t}{F_{y'}(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x)) - F_{y'}(x,y(x),y'(x))\ dsh'(x)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zur Herleitung des des
> Gâteaux-Differentials. Die Umformung von (A) nach (B)
> verstehe ich. Wie man von (B) nach (C) kommt, kann ich
> nicht mehr nachvollziehen - auch wenn es wohl einfach und
> offensichtlich zu sein scheint. Kann mir dies jemand
> erklären?
Zunächst wird die Ableitung unter dem Integral ausgeführt:
[mm] \bruch{d}{ds}F(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x)) = F_y(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x))h(x) + F_{y'}(x,y(x)+sh(x),y'(x)+sh'(x))h'(x) [/mm] .
Dann wird 0 addiert:
[mm] 0 = F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)+F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x) - F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)-F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x) [/mm] .
Zum Schluss musst du nur noch die Terme umordnen und berücksichtigen, dass [mm] $F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)+F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x)$ [/mm] nicht von s abhängt und damit das Integral
[mm] \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t} (F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)+F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x)) \,ds = (F_{y}(x,y(x),y'(x))h(x)+F_{y'}(x,y(x),y'(x))h'(x)) \bruch{1}{t} \integral_{0}^{t} ds [/mm]
ist.
>
> Und noch eine kurze Zusatzfrage:
>
> Am Ende von (C.2) steht [mm]dsh(x) [/mm]. Liest man das als [mm]d(sh(x))[/mm]
> oder als [mm](ds)*h(x) [/mm]?
Das zweite.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Do 06.09.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo Rainer,
so macht das Ganze natürlich Sinn... :)
Vielen Dank für deine Hilfe!
Schöne Grüße
fz
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