Heaviside-Funktion im Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Ray1983 |
| Aufgabe | Es bezeichne H die Heaviside-Funktion. Berechne
[mm] \integral_{-\pi }^{\pi/2} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\, [/mm] dx |
Guten Abend,
ich habe ein Problem mit der oben genannten Aufgabe.
Die Heaviside-Funktion ist ja 0<0 und 1>0.
Ich habe deswegen das Integral aufgeteilt in:
[mm] \integral_{-\pi }^{0} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\, [/mm] dx
und
[mm] \integral_{0 }^{\pi/2} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\, [/mm] dx
Das bedeutet im ersten Integral wird alles Null und im zweiten ebenfall da [mm] cos(\pi/2) [/mm] ebenfalls 0 ist.
Ist das Richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es bezeichne H die Heaviside-Funktion. Berechne
>
> [mm]\integral_{-\pi }^{\pi/2} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\,[/mm] dx
> Guten Abend,
>
> ich habe ein Problem mit der oben genannten Aufgabe.
> Die Heaviside-Funktion ist ja 0<0
Du meinst $H(x)$ ist 0 für $x < [mm] 0\,.$
[/mm]
> und 1>0.
Du meinst $H(x)=1$ für $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
> Ich habe deswegen das Integral aufgeteilt in:
>
>
> [mm]\integral_{-\pi }^{0} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\,[/mm] dx
>
> und
>
> [mm]\integral_{0 }^{\pi/2} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\,[/mm] dx
Genau: [mm] $\int_{-\pi}^{\pi/2}=\int_{-\pi}^0+\int_0^{\pi/2}$
[/mm]
grob gesagt. Warum geht das?
> Das bedeutet im ersten Integral wird alles Null und im
> zweiten ebenfall da [mm]cos(\pi/2)[/mm] ebenfalls 0 ist.
>
> Ist das Richtig so?
Ich rechne mal:
[mm] $...=\int_{0}^{\pi/2} \cos(x)*e^{\sin(x)}dx=\left[e^{\sin(x)}\right]_{x=0}^{x=\pi/2}$
[/mm]
Dein Ergebnis stimmt nicht. Ist Dir klar, warum
[mm] $\int \cos(x)*e^{\sin(x)}dx=\{t \mapsto e^{\sin(t)}+\text{const}\}$
[/mm]
gilt? Falls nicht:
Du kannst an die Kettenregel denken (wie "funktioniert sie schematisch"),
oder Du substitutierst [mm] $w:=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $dw=\sin'(x)dx=\cos(x)dx\,.$
[/mm]
P.S. Wenn Du Dir mal sowas plotten läßt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28x%29*e^%28sin%28x%29%29
siehst Du auch, dass Dein Ergebnis nicht stimmt. Abgesehen davon kannst
Du
mit Wolframalpha das Ergebnis kontrollieren
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 25.01.2015 | | Autor: | Ray1983 |
OK. Ich habe nun:
[mm] \integral_{-\pi}^{0} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\, [/mm] dx
+
[mm] \integral_{0}^{\pi/2} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\, [/mm] dx
Daraus folgt dann
0 + [mm] \integral_{0}^{\pi/2} [/mm] cos(x)*e^(sin(x)) [mm] \, [/mm] dx
Durch Substitution
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}e^u\, [/mm] dx
mit sin(x)= u und u´=cos(x)
dx=1/cos(x)* du eingesetzt...
Also Lösung erhalte ich = e^sin(x)+C
Mit den eingesetzten Grenzen:
= e-1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 25.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ray1983!
> OK. Ich habe nun:
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{0} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\,[/mm] dx
>
> +
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2} H(x)*cos(x)*e^{sin(x)}\,[/mm] dx
>
> Daraus folgt dann
>
> 0 + [mm]\integral_{0}^{\pi/2}[/mm] cos(x)*e^(sin(x)) [mm]\,[/mm] dx
> Durch Substitution
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}e^u\,[/mm] dx
Du meinst
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}e^u \mathrm{d}u.
[/mm]
> mit sin(x)= u und u´=cos(x)
> dx=1/cos(x)* du eingesetzt...
Besser: Mit [mm] u:=\sin(x) [/mm] ist [mm] u'=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\cos(x) [/mm] und somit [mm] \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{\cos(x)}.
[/mm]
> Also Lösung erhalte ich = e^sin(x)+C
Für das unbestimmte Integral.
> Mit den eingesetzten Grenzen:
>
> = e-1
Richtig.
Gruß
DieAcht
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