Hausdorffraum mit Ordnungstopo < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo zusammen,
verstehe ich diese Aussage richtig?
Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die
Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.
Sei X eine Menge und y,z [mm] \in [/mm] X, dann sind die offenen Mengen der gewöhnlichen Ordnungstopologie
(y,z):= [mm] \{x \in X : y < x < z\}
[/mm]
Dann bilden für die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen die offenen Mengen, die je eine Ordinalzahl enthalten, eine Basis dieser Ordnungstopologie.
Da diese Punkte als Mengen offen sind, ist jeder Punkt eine Umgebung von sich selbst.
Also haben zwei beliebige Punkte disjunkte Umgebungen, somit handelt es sich um einen Hausdorffraum?
Viele Grüße,
Fussel
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Hallo!
Ich würde das eigentlich auch so sehen, dass das deshalb ein Hausdorffraum ist. Zu zeigen bleibt dann allerdings, dass dieser nicht metrisierbar ist...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 28.04.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo,
Ja, stimmt
Die Punkte Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie sind offen, d.h. die Menge ist total unzusammenhängend. Sind metrische Räume dagegen nicht immer zusammenhängend?
Viele Grüße,
Oliver
Viele Grüße,
Fussel
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Hallo Fussel,
> Die Punkte Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der
> gewöhnlichen Ordnungstopologie sind offen, d.h. die Menge
> ist total unzusammenhängend.
Nicht jede einelementige Menge ist hier offen: Die Menge {omega} ist nicht offen, weil diese Zahl (die kleinste unendliche Ordinalzahl) keinen Vorgänger hat.
Trotzdem ist dieser Raum total unzusammenhängend, weil für x < y stets {z | z < x+1 } und { z | z > x } disjunkte offene Mengen sind, deren Vereinigung der ganze Raum ist, wobei die erste x und die zweite y enthält.
> Sind metrische Räume dagegen nicht immer zusammenhängend?
Nein, es gibt sogar Beispiele total unzusammenhängender metrischer Räume. Der diskrete metrische Raum (d(x,y) = 1 für x != y) ist das einfachste Beispiel davon, es gibt aber auch "beliebig komplizierte" Beispiele.
Dass der topologische Raum [mm] \omega_1 [/mm] der abzählbaren Ordinalzahlen nicht metrisierbar ist, muss also mit anderen Eigenschaften zusammenhängen.
Ich fand im Netz die Behauptung, dass dieser Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllt, d.h. es gibt einen Punkt in [mm] \omega_1, [/mm] der keine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Daraus würde sofort folgen, dass [mm] \omega_1 [/mm] nicht metrisierbar ist. Fehlt nur noch ein Beweis dieser Behauptung. :)
Gruss,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian (und andere)!
Mir ist das alles ziemlich unklar. Im Steen/Seebach ("Counterexamples in topology") steht folgendes.
(Bei ihm ist [mm] $\Omega$ [/mm] die erste überabzählbare Ordinalzahl (also [mm] $\omega<\Omega$). [/mm] Meines Wissens wird die gewöhnlich mit [mm] $\omega_1$ [/mm] bezeichnet, oder?)
Thus ordinal space [mm] $[0,\Omega]$ [/mm] is not first countable, since the point [mm] $\Omega$ [/mm] does not have a countable local basis. In fact, [mm] $\Omega$ [/mm] is a limit point of the set [mm] $(\alpha,\Omega)$ [/mm] but it is not the limit point of any sequence of points in [mm] $(\alpha,\Omega)$.
[/mm]
[...]
But unlike [mm] $[0,\Omega]$, $[0,\Omega)$ [/mm] is first countable, since the only point of [mm] $[0,\Omega]$ [/mm] which does not have a countable local basis is [mm] $\Omega$.
[/mm]
[...]
Although neither [mm] $[0,\Omega]$ [/mm] or [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] are second countable, both [mm] $[0,\Gamma]$ [/mm] and [mm] $[0,\Gamma)$ [/mm] are (for [mm] $\Gamma<\Omega$) [/mm] since each point has a countable local basis, and there are only countable many points. Thus, since ordinal spaces are regular, both [mm] $[0,\Gamma]$ [/mm] and [mm] $[0,\Gamma)$ [/mm] are metrizable.
Widerspricht das nicht deiner Aussage? Oder verstehe ich da was falsch? Um welchen Raum geht es hier eigentlich: Um [mm] $[0,\omega]$ [/mm] oder um [mm] $[0,\omega_1)=[0,\Omega)$?
[/mm]
Zu meiner Verteidigung  : Ich habe zwar von Topologie eingermaßen Ahnung, aber keinesfalls von Ordinalzahlen und anderen Objekten der Mengenlehre, also sei bitte nachsichtig mit mir.
Viele Grüße
Stefan
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> Hallo Christian (und andere)!
Hallo Stefan,
> Mir ist das alles ziemlich unklar.
Mir auch, aber aus anderen Gründen :)
> Im Steen/Seebach ("Counterexamples in topology") steht folgendes.
>
> (Bei ihm ist [mm]\Omega[/mm] die erste überabzählbare Ordinalzahl
> (also [mm]\omega<\Omega[/mm]). Meines Wissens wird die gewöhnlich
> mit [mm]\omega_1[/mm] bezeichnet, oder?)
Ja, [mm] \omega_1 [/mm] ist die erste überabzählbare. Aber um Verwirrungen zu vermeiden, wird die _Menge_ [mm] \omega_1 [/mm] oft als [mm] \Omega [/mm] geschrieben. (Manchmal wird auch [mm] [0,\omega_1] [/mm] als [mm] \Omega [/mm] bezeichnet und [mm] [0,\omega_1) [/mm] = [mm] \omega_1 [/mm] wird [mm] \Omega_0 [/mm] genannt, aber das vergessen wir hier gleich wieder.)
> Thus ordinal space [mm][0,\Omega][/mm] is not first countable, since
> the point [mm]\Omega[/mm] does not have a countable local basis. In
> fact, [mm]\Omega[/mm] is a limit point of the set [mm](\alpha,\Omega)[/mm]
> but it is not the limit point of any sequence of points in
> [mm](\alpha,\Omega)[/mm].
Ja, das habe ich mir bereits selbst hergeleitet: Der limsup einer Folge abzählbarer Ordinalzahlen ist die Vereinigung der Folge, und das ist eine abzählbare Ordinalzahl.
> [...]
>
> But unlike [mm][0,\Omega][/mm], [mm][0,\Omega)[/mm] is first countable, since
> the only point of [mm][0,\Omega][/mm] which does not have a
> countable local basis is [mm]\Omega[/mm].
Das ist mir neu, und widerspricht meiner Quelle
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
die aber als Referenz ohnehin nicht wasserdicht ist ;)
Es entspricht aber dem Text
http://en.wikipedia.org/wiki/First-countable_space
:)
> [...]
>
> Although neither [mm][0,\Omega][/mm] or [mm][0,\Omega)[/mm] are second
> countable,
Second countable ist strenger als first countable:
http://en.wikipedia.org/wiki/Second-countable_space
ich kann daraus aber leider noch keinen Zusammenhang zur Metrisierbarkeit herstellen.
> both [mm][0,\Gamma][/mm] and [mm][0,\Gamma)[/mm] are (for [mm]\Gamma<\Omega[/mm]) since each point has a countable local
> basis, and there are only countable many points. Thus,
> since ordinal spaces are regular, both [mm][0,\Gamma][/mm] and
> [mm][0,\Gamma)[/mm] are metrizable.
Das ist interessant: Jedes Ordinalzahl-Intervall, dessen Obergrenze abzählbar ist, ist metrisierbar. Die Begründung sagt mir zwar nichts, aber egal. :)
> Widerspricht das nicht deiner Aussage? Oder verstehe ich da
> was falsch?
Ja, meine erste Behauptung widerspricht diesen Erkenntnissen.
> Um welchen Raum geht es hier eigentlich: Um
> [mm][0,\omega][/mm] oder um [mm][0,\omega_1)=[0,\Omega)[/mm]?
Soweit ich verstanden habe, betrachten wir den Raum [0, [mm] \Omega) [/mm] = [mm] \Omega [/mm] = [mm] \omega_1 [/mm] aller abzählbaren Ordinalzahlen.
> Zu meiner Verteidigung : Ich habe zwar von Topologie
> eingermaßen Ahnung, aber keinesfalls von Ordinalzahlen und
> anderen Objekten der Mengenlehre, also sei bitte
> nachsichtig mit mir.
Bei mir ists genau umgekehrt: Ich kenne die Ordinalzahlen ein bisschen, hab aber von den meisten topologischen Begriffen und ihren Zusammenhängen keine Ahnung. :)
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
Vielen Dank für die Infos, jetzt ist es mir klarer. Ich weiß aber immer noch nicht, warum [mm] $(0,\Omega)$ [/mm] nicht metrisierbar sein soll. Auf jeden Fall ist es nicht metrisierbar, denn das steht im Steen/Seebach so drin, und ich habe in diesem Buch noch keinen einzigen Fehler entdecken können.
Ich habe mal in dem Buch rausgesucht, welche Eigenschaften [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] alle hat (hierbei sind einige Infos redundant, aber ich bin zu faul die Redundanzen wegzulassen):
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] erfüllt natürlich alle elementaren (!) Trennungsaxiome.
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist ein Urysohn-Raum, vollständig regulär, vollständig normal (aber nicht perfekt normal).
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist nicht kompakt, nicht [mm] $\sigma$-kompakt, [/mm] kein Lindelöf-Raum, aber abzählbar kompakt, folgenkompakt, pseudokompakt, stark lokal kompakt, nicht [mm] $\sigma$-lokal [/mm] kompakt, nicht parakompakt und auch nicht metakompakt, dafür aber abzählbar parakompakt und abzählbar metakompakt.
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist nicht separabel, erfüllt nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom, aber das erste Abzählbarkeitsaxiom.
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist nicht "fully normal" und nicht "fully [mm] $T_4$".
[/mm]
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist total unzusammenhängend, aber nicht extrem unzusammenhängend.
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist (ich lasse mal alles auf Englisch) zero dimensional, scattered, not discrete, hat keine [mm] $\sigma$-locally [/mm] finite basis.
- [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] ist von zweiter Kategorie und nicht abzählbar.
Mir ist aber nicht klar, wie man daraus die Nicht-Metrisierbarkeit herleiten kann.
Allgemein gilt, dass metrische Räume natürlich nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen müssen und dass in metrischen Räumen stattdessen die Eigenschaften
- separabel
- "hereditarily separable"
- Erfüllung des zweiten Abzählbarkeitsaxioms
- Lindelöf-Raum
zusammenfallen, aber auch das führt hier zu keinem Widerspruch, denn [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] erfüllt ja nichts von alledem.
Aha, ich sehe gerade etwas. Man kann zeigen, dass jeder metrisierbare Raum eine [mm] $\sigma$-lokal [/mm] endliche Basis haben muss (die Begriffe sind sogar äquivalent), und das hat [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] nicht. Außerdem genügt es zu zeigen (was ja stimmt), dass [mm] $[0,\Omega)$ [/mm] nicht "fully normal" ist, denn das ist auch jeder metrisierbare Raum. Ein Beweis für die Aussage, dass [mm] $(0,\Omega)$ [/mm] nicht "fully normal" (voll normal? ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") ) ist, findet sich in
Bing, R.H. Metrization of topological spaces. Canad. J. Mat. 3 (1951), p. 175-186.
Aber vermutlich schießt man hier mit Kanonen auf Spatzen. Aber ein direktes Argument fällt mir partout nicht ein... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Zu den zuletzt verwendeten Begriffen:
Ein topologischer Raum hat eine [mm] $\sigma$-lokal [/mm] endliche Basis, wenn er eine Basis der Topologie besitzt, die eine abzählbare Vereinigung lokal endlicher Familien ist.
Ein topologischer Raum heißt "fully normal", wenn er "fully [mm] $T_4$" [/mm] und [mm] $T_1$ [/mm] ist. Er ist "fully [mm] $T_4$", [/mm] wenn jede offene Überdeckung eine sternförmige Verfeinerung besitzt. Für eine Überdeckung [mm] $\{V_{\beta}\}$ [/mm] eines topologischen Raumes $X$ heißt [mm] $\{U_{\alpha}\}$ [/mm] eine sternförmige Verfeinerung, wenn es für jeden Punkt $x [mm] \in [/mm] X$ ein [mm] $U_{\alpha}$ [/mm] gibt mit [mm] $x^{\*} \subset U_{\alpha}$, [/mm] wobei [mm] $x^{\*}$, [/mm] der Stern von $x$ bezüglich [mm] $\{V_{\beta}\}$, [/mm] die Vereinigung aller Menge [mm] $V_{\beta}$ [/mm] ist, die $x$ als Element enthalten.
Siehst du mittlerweile einen "elementaren" Beweis der Aussage?
Viele Grüße
Stefan
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