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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Imbecile |
| Aufgabe | [mm] A\vec{x}=\vec{b} A\in\IK^{mxn} A_{e}=(A|b). [/mm] Es gelten folgende Eigenschaften:
[mm] \vektor{i} [/mm] Das LGS ist lösbar [mm] \gdw rg(A)=rg(A_{e})
[/mm]
[mm] \vektor{ii} [/mm] Das LGS ist eindeutig lösbar, wenn rg(A)=n=# der Variablen
[mm] \vektor{iii} [/mm] Das LGS ist universell lösbar [mm] (\forall\vec{b}\in\IK^{m})\gdw [/mm] rg(A)=m=# der Gleichungen
[mm] \vektor{iv} [/mm] rg(A)=r < n (Anzahl der Variablen) Lösungsmenge des LGS ist eine (n-r)-parametrige Lösungsschar. [mm] \overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{n-r}} [/mm] ... (n-r) Fundamentallösungen des homogenen Systems
allgemeine Lösung: [mm] \vec{x}=\overrightarrow{x_{0}}+\lambda_{1}\overrightarrow{x_{1}}+...+\lambda_{n-r}\overrightarrow{x_{n-r}}
[/mm]
[mm] \vektor{v} [/mm] Man sagt: die Lösungsmenge eines LGS ist ein affiner Teilraum: dieser Teilraum ist entweder leer oder besitzt die Gestalt: [mm] \vec{x}=\overrightarrow{x_{0}}+\lambda_{1}\overrightarrow{x_{1}}+...+\lambda_{n-r}\overrightarrow{x_{n-r}} [/mm] |
Hallo!
Also wir sollen diesen Satz beweisen, wobei ich mir hier schon die Punkte [mm] \vektor{i} [/mm] bis [mm] \vektor{iv} [/mm] herausgesucht habe.
Meine Frage bezieht sich jetzt auf [mm] \vektor{v}.
[/mm]
Muss ich das noch beweisen oder folgt das aus den darüber liegenden Sätzen?
Wenn ich es noch beweisen muss, wie kann ich denn den Ansatz finden?
Schon jetzt vielen Dank für eure Hilfe!
Lg,
Imbecile
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> [mm]A\vec{x}=\vec{b} A\in\IK^{mxn} A_{e}=(A|b).[/mm] Es gelten
> folgende Eigenschaften:
>
> [mm]\vektor{i}[/mm] Das LGS ist lösbar [mm]\gdw rg(A)=rg(A_{e})[/mm]
>
> [mm]\vektor{ii}[/mm] Das LGS ist eindeutig lösbar, wenn rg(A)=n=#
> der Variablen
> [mm]\vektor{iii}[/mm] Das LGS ist universell lösbar
> [mm](\forall\vec{b}\in\IK^{m})\gdw[/mm] rg(A)=m=# der Gleichungen
> [mm]\vektor{iv}[/mm] rg(A)=r < n (Anzahl der Variablen)
> Lösungsmenge des LGS ist eine (n-r)-parametrige
> Lösungsschar.
> [mm]\overrightarrow{x_{1}},...,\overrightarrow{x_{n-r}}[/mm] ...
> (n-r) Fundamentallösungen des homogenen Systems
> allgemeine Lösung:
> [mm]\vec{x}=\overrightarrow{x_{0}}+\lambda_{1}\overrightarrow{x_{1}}+...+\lambda_{n-r}\overrightarrow{x_{n-r}}[/mm]
> [mm]\vektor{v}[/mm] Man sagt: die Lösungsmenge eines LGS ist ein
> affiner Teilraum: dieser Teilraum ist entweder leer oder
> besitzt die Gestalt:
> [mm]\vec{x}=\overrightarrow{x_{0}}+\lambda_{1}\overrightarrow{x_{1}}+...+\lambda_{n-r}\overrightarrow{x_{n-r}}[/mm]
> Hallo!
>
> Also wir sollen diesen Satz beweisen, wobei ich mir hier
> schon die Punkte [mm]\vektor{i}[/mm] bis [mm]\vektor{iv}[/mm] herausgesucht
> habe.
>
> Meine Frage bezieht sich jetzt auf [mm]\vektor{v}.[/mm]
> Muss ich das noch beweisen oder folgt das aus den darüber
> liegenden Sätzen?
> Wenn ich es noch beweisen muss, wie kann ich denn den
> Ansatz finden?
Hallo,
"beweisen" ist ja fast zuviel gesagt.
Angenommen, das System hat eine Lösung.
Es kann der Rang von A ja nur =n oder <n sein.
Den zweiten Fall hast Du in (iv) abgehandelt,
den ersten Fall in (ii)
Gruß v. Angela
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